Hilan läpi johdetaan valoa valkoisesta ledistä. Hilassa on 300 rakoa/mm. Kuinka leveänä valon spektri näkyy ensimmäisen sivumaksimin kohdalla, kun varjostin on 3,22 metrin päässä hilasta?

 

Ratkaisu

On selvitettävä, mihin kulmiin spektrin ääripäitä (punainen ja violetti) vastaavat aallonpituudet muodostavat sivumaksiminsa. Hilayhtälön mukaan [[$d\sin\theta=k\lambda$]], missä [[$d$]] on hilavakio, [[$\theta$]] kulma, johon sivumaksimi muodostuu, [[$k$]] sivumaksimin järjestysluku ja [[$\lambda$]] valon aallonpituus. Yhtälöstä voidaan ratkaista kulma.

[[$\quad \begin{align}d\sin\theta&=k\lambda \\ \ \\ \theta &= \arcsin \dfrac{k\lambda}{d}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot. Nyt [[$k=1$]], ja punaisimmalle valolle [[$\lambda=700\text{ nm}$]] (violeteimmalle [[$\lambda=400\text{ nm}$]]). Lasketaan ensin kulma punaisimmalle valolle.

[[$\quad\theta_\text{P}= \arcsin \dfrac{1\cdot 700\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\dfrac{1}{300\ 000}\text{ m}}=12{,}1223\dots^\circ\approx12{,}122^\circ$]]

Lasketaan sitten kulma violeteimmalle valolle.

[[$\quad \theta_\text{V} = \arcsin \dfrac{1\cdot 400\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\dfrac{1}{300\ 000}\text{ m}}=6{,}89210\dots^\circ\approx 6{,}8921^\circ$]]

Näistä voidaan laskea punaisimman ja violeteimman maksimin etäisyys (spektrin leveys): lasketaan trigonometrialla molempien värien maksimin sijainti, ja vähennetään ne toisistaan. Lasketaan ensin punaisimman valon maksimin sijainti.

[[$\quad x_\text{P}=l\tan\theta_\text{P}=3{,}22\text{ m}\cdot\tan 12{,}122^\circ=0{,}69160\dots\text{m}\approx0{,}6916\text{ m}$]]

Lasketaan sitten violeteimman valon maksimin sijainti.

[[$\quad x_\text{V}=l\tan\theta_\text{V}=3{,}22\text{ m}\cdot\tan 6{,}8921^\circ=0{,}38921\dots\text{m}\approx0{,}3892\text{ m}$]]

Maksimien etäisyys, eli spektrin leveys varjostimella on [[$0{,}6916\text{ m}-0{,}3892\text{ m}=0{,}3024\text{ m}\approx 30{,}2\text{ cm}$]].

Valon spektri näkyy n. 30,2 cm leveänä.

Takaisin