Esimerkin 3 ratkaisu
Uraanin isotooppi U-235 on alfa-aktiivinen.
- Kirjoita isotoopin hajoamisreaktio, ja laske hajoamisreaktion energia.
- Laske alfahiukkasen liike-energia ja nopeus.
Ratkaisu
a. Uraanin isotoopin järjestysluku on Z = 92 ja massaluku on A = 235. Alfa-hajoamisen seurauksena syntyvän tytärytimen järjestysluku on Z = 92 - 2 = 90 ja massaluku on A = 235 - 4 = 231. Taulukkokirjasta saadaan tieto, että tytärydin on toriumin isotooppi Th-231.
[[$ \quad ^{235}_{\ \ 92}\text{U}\rightarrow{^{231}_{\ \ 90}\text{Th}}+ {^4_2\text{He}} $]]
Lasketaan aluksi hajoamisreaktion massan muutos.
[[$ \quad \begin{align*} \Delta m&=m_\text{U-ydin}-m_\text{Th-ydin}-m_\text{He-ydin} \\ \, \\ &=(m_\text{U-atomi}-92m_e)-(m_\text{Th-atomi}-90m_e)-(m_\text{He-atomi}-2m_e) \\ \, \\ &=m_\text{U-atomi}-m_\text{Th-atomi}-m_\text{He-atomi} \\ \, \\ &=235,043925 \text{ u}-231,036298 \text{ u}-4,0026033 \text{ u} \\ \, \\ &=0,0050237 \text{ u} \end{align*} $]]
Reaktioenergia on
[[$ \quad Q=\Delta mc^2=0,0050236 \cdot 931,49 \text{ MeV}/c^2\cdot c^2 =4,6795 \ldots \text{ MeV} \approx 4,680 \text{ MeV} $]]
Reaktion energia on n. 4,680 MeV.
b. Oletetaan, että emoydin on aluksi levossa, ja että tytärydin on reaktion jälkeen jäänyt perustilaan. Liikemäärän säilymislain mukaan
[[$ \quad \begin{align*} m_\text{He}v_\text{He}&=m_\text{U}v_\text{U} \\ \, \\ v_\text{U}&=\dfrac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}} \end{align*} $]]
Energian säilymislain mukaan reaktioenergia jakaantuu alfahiukkaselle ja tytärytimelle.
[[$ \quad \begin{align*} Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}v_\text{U}^2 \quad &&||v_\text{U}=\frac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}} \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}\Big( \frac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}}\Big)^2 \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}\frac{m_\text{He}^2v_\text{He}^2}{m_\text{U}^2} \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}\frac{m_\text{He}^2v_\text{He}^2}{m_\text{U}} \\ \, \\ Q&=(1+\dfrac{m_\text{He}}{m_\text{U}})\cdot \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2 \\ \, \\ \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2&=\dfrac{Q}{1+\dfrac{m_\text{He}}{m_\text{U}}} \end{align*} $]]
Lasketaan alfahiukkasen liike-energian suuruus.
[[$ \quad \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2=\dfrac{4,6795\dots \cdot 10^6 \text{ eV}}{1+\dfrac{4,0026033 \text{ u}}{235,043925 \text{ u}}}=4601172,1\ldots \text{ eV} = 7,3718 \ldots \cdot 10^{-13} \text{ J}\approx 7,372\cdot 10^{-13}\text{ J}$]]
Lasketaan alfahiukkasen nopeus.
[[$ \quad \begin{align*} \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2&=E_\text{K He} \\ \, \\ v_\text{He}&=\sqrt{\dfrac{2E_\text{K He}}{m_\text{He}}} \\ \, \\ v_\text{He}&=\sqrt{\dfrac{2\cdot 7,3718\dots\cdot 10^{-13} \text{ J}}{4,0026033 \cdot 1,6605402 \cdot 10^{-27} \text{ kg} }}=14\,893\,904,1\ldots \text{ m/s} \approx 14,89 \text{ Mm/s} \end{align*} $]]
