3.1 Funktio
Funktiossa kaksi suuretta (mitattavaa asiaa) riippuvat toisistaan säännönmukaisesti, mikä voidaan esittää toisaalta matemaattisena lausekkeena.
Esimerkki 1.
Bensiini maksaan 1,50 € litralta. Taulukoidaan ostetun bensiinin hinta taulukoksi.
1 litra → 1 · 1,50 € = 1,50 €
2 litraa → 2 · 1,50 € = 3,00 €
3 litraa → 3 · 1,50 € = 4,50 €
· ·
· ·
· ·
10 litraa → 10 · 1,50 € = 15 €
Maksettava hinta saadaan siis kertomalla ostettujen bensalitrojen määrä bensiinin yksikköhinnalla. Matemaattisesti tämä voidaan esittää muodossa h(x) = x · 1,50 = 1,50x.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funktiomerkinnässä tulee aina olla funktion nimi, muuttuja sekä funktiolauseke.
Esimerkki 2.
Esimerkissä 1 funktio esitettiin muodossa h(x) = 1,50x.
→ funktion nimi on h
→ funktion muuttujakirjain on x
→ funktion lauseke on 1,50 · x eli 1,50x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sijoittamalla funktion muuttujakirjaimen paikalle numero, voidaan laskea funktiolle arvo. Funktion arvo tarkoittaa siis funktion lausekkeen tuottamaa tulosta, joka saadaan tuntemalla muuttujakirjaimen arvo. Huomaa, että funktiot on määritelty usein monelle eri muuttujan arvolle, joten yksittäinen funktio voi saada useita eri arvoja.
Vastaavasti muuttujan arvo voidaan laskea, mikäli tiedetään funktion lauseke ja funktion arvo. Merkitsemällä lauseke yhtäsuureksi funktion arvon kanssa saadaan yhtälö, josta muuttujan arvo voidaan laskea.
Esimerkki 3.
a) käyttämällä esimerkin 1 laskukaavaa, laske hinta 68 litralle bensiiniä.
→ funktio hinnalle on h(x) = 1,50x
→ sijoitetaan muuttujan paikalle arvo 68.
→ h(68) = 1,50 · 68 = 102
→ vastaus: 68 litraa bensiiniä maksaa 102 euroa.
b) kuinka paljon bensiiniä saa ostettua, jos bensiiniä ostetaan 135 eurolla?
→ tiedetään funktion arvo 135 €, mutta muuttujan arvo on tuntematon x.
→ h(x) = 1,50 · x = 135
→ x = 135 : 1,50 = 90
→ vastaus: 135 eurolla saa 90 litraa bensiiniä.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funktion määrittelyjoukolla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joilla funktion lauseke tuottaa funktion arvon. Funktion määrittelyjoukko tulee tarkistaa ennen funktion laskuja.
Muista, että jakaja ei saa olla koskaan arvoltaan nolla. Kannattaa siis tarkastaa, onko olemassa sellaisia muuttujan arvoja, jotka tuottavat jakajaksi nollan. Tällaiset muuttujat on poistettava määrittelyjoukosta.
Lähtökohtaisesti määrittelyjoukkona pidetään kaikkia lukuja eli reaalilukuja.
Esimerkki 4.
Määritellään funktio seuraavasti: funktion arvo saadaan jakamalla luku 100 muuttujan arvolla. Funktion nimi olkoot t ja muuttujakirjain s.
→ funktio on muotoa t(s) = 100 : s
→ Onko olemassa lukuja, jotka eivät sovi muuttujan s paikalle em. lausekkeessa?
→ 100 : 0 ei ole määritelty, joten luku 0 ei sovi muuttujaksi, kaikki muut luvut sopivat muuttujiksi.
→ funktion määrittelyjoukko on Mt = R \ 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Niitä muuttujia, joilla funktio saa arvon nolla, kutsutaan funktion nollakohdiksi. Näiden nollakohtien ratkaiseminen suoritetaan useimmin yhtälön avulla merkitsemällä funktion lauseke yhtäsuureksi kuin nolla. Toinen tapa selvittää nollakohta, on piirtää funktion kuvaaja ja tulkita nollakohta suoraan kuvaajasta. Yhtälön käyttäminen on kuitenkin laskennallisena menetelmänä tarkempi.
Nollakohtien selvittäminen auttaa tulkitsemaan kuvaajaa. Esimerkiksi funktion positiivisuus ja negatiivisuus tarkastetaan nollakohtien avulla.
Esimerkki 5.
a) määritä funktion k(u) = 5u - 18 nollakohdat
→ 5u - 18 = 0
→ 5u = 0 + 18
→ 5u = 18 |:5
→ u = 18 : 5
→ u = 3,6
→ vastaus: funktion nollakohta saadaan muuttujan arvolla 3,6
b) määritä funktion g(h) = h2 + 5h + 6 nollakohdat
→ h2 + 5h + 6 = 0
→ (h + 2)(h + 3) = 0
→ h = -2 tai h = -3
→ vastaus: funktion nollakohdat saadaan muuttujan arvoilla -2 ja -3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Esimerkki 1.
Bensiini maksaan 1,50 € litralta. Taulukoidaan ostetun bensiinin hinta taulukoksi.
1 litra → 1 · 1,50 € = 1,50 €
2 litraa → 2 · 1,50 € = 3,00 €
3 litraa → 3 · 1,50 € = 4,50 €
· ·
· ·
· ·
10 litraa → 10 · 1,50 € = 15 €
Maksettava hinta saadaan siis kertomalla ostettujen bensalitrojen määrä bensiinin yksikköhinnalla. Matemaattisesti tämä voidaan esittää muodossa h(x) = x · 1,50 = 1,50x.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funktiomerkinnässä tulee aina olla funktion nimi, muuttuja sekä funktiolauseke.
Esimerkki 2.
Esimerkissä 1 funktio esitettiin muodossa h(x) = 1,50x.
→ funktion nimi on h
→ funktion muuttujakirjain on x
→ funktion lauseke on 1,50 · x eli 1,50x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Sijoittamalla funktion muuttujakirjaimen paikalle numero, voidaan laskea funktiolle arvo. Funktion arvo tarkoittaa siis funktion lausekkeen tuottamaa tulosta, joka saadaan tuntemalla muuttujakirjaimen arvo. Huomaa, että funktiot on määritelty usein monelle eri muuttujan arvolle, joten yksittäinen funktio voi saada useita eri arvoja.
Vastaavasti muuttujan arvo voidaan laskea, mikäli tiedetään funktion lauseke ja funktion arvo. Merkitsemällä lauseke yhtäsuureksi funktion arvon kanssa saadaan yhtälö, josta muuttujan arvo voidaan laskea.
Esimerkki 3.
a) käyttämällä esimerkin 1 laskukaavaa, laske hinta 68 litralle bensiiniä.
→ funktio hinnalle on h(x) = 1,50x
→ sijoitetaan muuttujan paikalle arvo 68.
→ h(68) = 1,50 · 68 = 102
→ vastaus: 68 litraa bensiiniä maksaa 102 euroa.
b) kuinka paljon bensiiniä saa ostettua, jos bensiiniä ostetaan 135 eurolla?
→ tiedetään funktion arvo 135 €, mutta muuttujan arvo on tuntematon x.
→ h(x) = 1,50 · x = 135
→ x = 135 : 1,50 = 90
→ vastaus: 135 eurolla saa 90 litraa bensiiniä.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Funktion määrittelyjoukolla tarkoitetaan niitä muuttujan arvoja, joilla funktion lauseke tuottaa funktion arvon. Funktion määrittelyjoukko tulee tarkistaa ennen funktion laskuja.
Muista, että jakaja ei saa olla koskaan arvoltaan nolla. Kannattaa siis tarkastaa, onko olemassa sellaisia muuttujan arvoja, jotka tuottavat jakajaksi nollan. Tällaiset muuttujat on poistettava määrittelyjoukosta.
Lähtökohtaisesti määrittelyjoukkona pidetään kaikkia lukuja eli reaalilukuja.
Esimerkki 4.
Määritellään funktio seuraavasti: funktion arvo saadaan jakamalla luku 100 muuttujan arvolla. Funktion nimi olkoot t ja muuttujakirjain s.
→ funktio on muotoa t(s) = 100 : s
→ Onko olemassa lukuja, jotka eivät sovi muuttujan s paikalle em. lausekkeessa?
→ 100 : 0 ei ole määritelty, joten luku 0 ei sovi muuttujaksi, kaikki muut luvut sopivat muuttujiksi.
→ funktion määrittelyjoukko on Mt = R \ 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Niitä muuttujia, joilla funktio saa arvon nolla, kutsutaan funktion nollakohdiksi. Näiden nollakohtien ratkaiseminen suoritetaan useimmin yhtälön avulla merkitsemällä funktion lauseke yhtäsuureksi kuin nolla. Toinen tapa selvittää nollakohta, on piirtää funktion kuvaaja ja tulkita nollakohta suoraan kuvaajasta. Yhtälön käyttäminen on kuitenkin laskennallisena menetelmänä tarkempi.
Nollakohtien selvittäminen auttaa tulkitsemaan kuvaajaa. Esimerkiksi funktion positiivisuus ja negatiivisuus tarkastetaan nollakohtien avulla.
Esimerkki 5.
a) määritä funktion k(u) = 5u - 18 nollakohdat
→ 5u - 18 = 0
→ 5u = 0 + 18
→ 5u = 18 |:5
→ u = 18 : 5
→ u = 3,6
→ vastaus: funktion nollakohta saadaan muuttujan arvolla 3,6
b) määritä funktion g(h) = h2 + 5h + 6 nollakohdat
→ h2 + 5h + 6 = 0
→ (h + 2)(h + 3) = 0
→ h = -2 tai h = -3
→ vastaus: funktion nollakohdat saadaan muuttujan arvoilla -2 ja -3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------