Kulamaalta löytyi arkeologisilta kaivauksilta muinaista lehmänlantaa. Miltä ajalta jäännös oli peräisin, kun siinä mitattiin radiohiilen ja tavallisen hiilen suhteeksi [[$\dfrac{{^{14}_{\,\,6}\text{C}}}{{^{12}_{\,\,6}\text{C}}}=8,5\cdot10^{−13}$]]? Elävässä kudoksessa suhde on [[$10^{−12}$]].

 

Tavallisen hiilen määrä ei muutu. Radiohiili, eli C-14 hajoaa beetahajoamisessa typeksi, joka on kaasu ja poistuu kiinteästä näytteestä. Radiohiilen määrä pienenee siis aktiivisuuslain mukaisesti:

[[$N\left(t\right)=N_0\text{e}^{-\lambda t}$]]

Radiohiilen määrä aktiivisuuslain mukainen, 1 p.

Näin ollen radiohiilen ja tavallisen hiilen suhde kehittyy myös hajoamislain mukaisesti:

[[$\dfrac{N_\text{C14}}{N_\text{C12}}=\dfrac{N_\text{0 C14}\text{e}^{-\lambda t}}{N_\text{0 C12}}=\dfrac{N_\text{0 C14}}{N_\text{0 C12}}\cdot\text{e}^{-\lambda t}$]]

Tavallisen hiilen määrä ei muutu ja suhde muuttuu aktiivisuuslain mukaan, 1 p.

Kun tiedetään suhde näytteen syntyhetkellä ja nyt, voidaan laskea ikä. Merkitään suhdetta alussa [[$R_0$]] ja nyt [[$R$]].

[[$\begin{align*}R&=R_0\cdot\text{e}^{-\lambda t}\\ \dfrac{R}{R_0}&=\text{e}^{-\lambda t}\\ t&=\dfrac{\ln\left(\dfrac{R}{R_0}\right)}{-\lambda}=\dfrac{\ln\left(\dfrac{R}{R_0}\right)}{-\ln\left(2\right)}T_{1/2}\\&=\dfrac{\ln\left(\dfrac{8,5\cdot 10^{-13}}{10^{-12}}\right)}{-\ln\left(2\right)}\cdot 5730\text{ a}=1343,4\dots\text{a}\approx 1300\text{ a}\\ \end{align*}$]]

Järkevä lauseke iän laskemiseksi, 1 p.
Puoliintumisaikaa käytetty oikein hajoamisvakion laskemiseksi tai sijoitettu lausekkeeseen, 1 p.

Näyte on siis peräisin noin 1300 vuoden takaa, eli 600–700-lukujen vaihteesta.

Vastaus oikein, 1 p.

Takaisin