Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Homogeenisessa sähkökentässä, jonka voimakkuus on 850 N/C, on hiukkanen, jonka sähkövaraus on 2,0 nC.
- Hiukkanen siirtyy 12 cm sähkökentän suuntaan. Väheneekö vai kasvaako hiukkasen sähköinen potentiaalienergia ja kuinka paljon?
- Toisen hiukkasen sähkövaraus on 3,5 nC. Kuinka pitkä matka sen tulee siirtyä, jotta sen potentiaalienergian muutos on yhtä suuri kuin ensimmäisen hiukkasen?
Ratkaisu
a. Hiukkasen varaus on positiivinen, joten sähkökenttä pyrkii siirtämään sitä sähkökentän suuntaan. Hiukkasen potentiaalienergia vähenee. Vapaasti liikkuessaan hiukkasen liike-energia kasvaisi saman verran. Lasketaan muutoksen suuruus. Jännitteen arvona voidaan käyttää sen itseisarvoa.
[[$\quad \Delta E_\text{sp}=QU=QEd=2{,}0\cdot 10^{-9}\text{ C}\cdot 850\text{ N/C}\cdot 0{,}12\text{ m}=204\cdot 10^{-9}\text{ J}\approx200\text{ nJ}$]]
b. Ratkaistaan tarvittava siirtymä, kun potentiaalienergian muutos [[$\Delta E_\text{sp}=204\text{ nJ}$]] ja [[$Q=3{,}5\text{ nC}$]].
[[$\quad\begin{align}\Delta E_\text{sp}&=QU=QEd\\ \ \\ d&=\dfrac{\Delta E_\text{sp}}{QE}\\ \ \\ &=\dfrac{204\cdot 10^{-9}\text{ J}}{3{,}5\cdot 10^{-9}\text{ C}\cdot 850\text{ N/C}}\\ \ \\ &=0{,}0685\dots\text{m}\approx 6{,}9\text{ cm}\end{align}$]]
Esimerkin 2 ratkaisu
Kahden metallilevyn välillä pidetään 18 V:n jännite. Levyt ovat 32 cm:n etäisyydellä toisistaan.
- Laske levyjen välisessä tilassa olevan sähkökentän voimakkuus.
- Negatiivisesti varatun levyn pinnalta pääsee irtoamaan elektroni. Mitä sille tapahtuu? Laske elektronin nopeus tapahtuman päätteeksi.
- Levyt siirretään 88 cm:n etäisyydelle toisistaan. Kuinka suuria ovat levyjen välinen jännite, elektronin potentiaalienergia ja sähkökentän voimakkuus?
Ratkaisu
a. Metallilevyjen välillä on homogeeninen sähkökenttä, jossa sähkökentän voimakkuus on
[[$ \quad\begin{align} E=\dfrac {U}{d}=\dfrac {18 \text{ V}}{0{,}32\text{ m}}=56{,}25 \text{V/m} \approx 56 \text{ V/m}\end{align} $]]
Sähkökentän voimakkuus on noin 56 V/m.
b. Elektroniin kohdistuu sähköinen voima, joka saa sen kiihtyvään liikkeeseen. Positiivisesti varattu levy voidaan sopia potentiaalienergian nollatasoksi, jolloin elektronilla on negatiivisella levyllä sähköinen potentiaalienergia [[$ E_{\text{SP}}=QU $]].
Elektronin siirryttyä positiivisesti varatulle levylle on sen potentiaalienergia muuttunut liike-energiaksi. Energian säilymislain mukaan
[[$ \quad\begin{align*} E_{\text{alku}}&=E_{\text{loppu}}\\ \\ E_{\text{SP}}&=E_{\text{K}}\\ \\ QU&=\dfrac{1}{2}mv^2\\ \\ 2QU&=mv^2\\ \\ \dfrac{2QU}{m}&=v^2\\ \\ v&=\sqrt{\dfrac{2QU}{m}}=\sqrt{\dfrac{ 2\cdot 1{,}6022\cdot10^{-19}\text{ C} \cdot 18 \text{ V}}{9{,}1094\cdot10^{-31}\text{ kg}}} =2\,516\,313{,}385\dots \text{m/s} \approx 2\,500 \text{km/s} \end{align*} $]]
Elektroni päätyy kiihtyvään liikkeeseen, ja sen nopeus tapahtuman lopussa on noin 2 500 km/s.
c. Jännite levyjen välillä on edelleen 18 V. Seuraavalla elektronilla on siis yhtä suuri sähköinen potentiaalienergia kuin edellisellä eli [[$ E_{SP}=QU $]]. Potentiaalienergia muuttuu yhtä suureksi liike-energiaksi kuin edellisellä elektronilla. Näin ollen elektronin loppunopeus on yhtä suuri kuin b-kohdan elektronilla.
Sähkökentän voimakkuus on c-kohdassa pienempi kuin kohdassa a laskettu [[$ E=\dfrac {U}{d} $]]. Tämän vuoksi c-kohdan elektroniin kohdistuu pienempi sähköinen voima, ja sen kiihtyvyys levyjen välissä on pienempi kuin ensimmäisellä elektronilla.
Elektronin loppunopeus ei muutu, mutta sen kiihtyvyys on pienempi.
Esimerkin 3 ratkaisu
Oheisessa kuvassa on esitettynä kolmen suuren varauksen muodostaman sähkökentän tasapotentiaalikäyriä. Kuvaan on lisäksi merkitty neljä pistettä: A, B, C ja D.
- Määritä jännite pisteestä A pisteeseen B ([[$U_{AB}$]]) sekä [[$U_{CD}$]].
- Pieni sähkövaraus [[$Q=2{,}3\text{ nC}$]] siirretään pisteestä A pisteeseen B. Määritä varauksen sähköisen potentiaalienergian muutos. Onko muutos positiivinen vai negatiivinen, ja mitä se kertoo?
- Pieni sähkövaraus [[$Q=-6{,}1\text{ nC}$]] siirretään pisteestä B pisteeseen C. Onko tehtävä työtä, vai vapautuuko energiaa? Kuinka paljon?
Ratkaisu
a. Jännite pisteestä A pisteeseen B on niiden potentiaalien erotus. Potentiaalien arvot voidaan lukea tasapotentiaalikäyriltä. Samoin lasketaan toinen jännite.
[[$\quad U_{AB}=V_B-V_A=3 \text{ V}-6 \text{ V}=-3 \text{ V} $]]
[[$\quad U_{CD}=V_D-V_C=2 \text{ V}-(-2) \text{ V}=4 \text{ V} $]]
b. Siirrettäessä positiivinen sähkövaraus matalampaan potentiaaliin sen sähköinen potentiaalienergia pienenee. Muutos lasketaan seuraavasti.
[[$\quad \Delta E_{\text{SP}}=QU_{AB}=2{,}3 \text{ nC} \cdot (-3 \text{ V})=-6{,}9 \text{ nJ} $]]
Negatiivinen potentiaalienergian muutos tarkoittaa, että sähköistä potentiaalienergiaa vapautuu. Varaus liikkuu (enimmäkseen, reitistä riippuen) sähköisen voiman suuntaan.
c. Samoin lasketaan potentiaalienergian muutos toisessa tapauksessa.
[[$\quad \Delta E_{\text{SP}}=QU_{BC}=Q(V_C-V_B)=-6{,}1 \text{ nC} \cdot (-2 \text{ V}-3 \text{ V})=30{,}5\text{ nJ} \approx 31 \text{ nJ} $]]
Positiivinen potentiaalienergian muutos tarkoittaa, että varauksen siirtämiseksi joudutaan tekemään 31 nJ työtä. Varaus liikkuu (enimmäkseen, reitistä riippuen) sähköiselle voimalle vastakkaiseen suuntaan.