Valtakunnalliset valinnaiset opinnot
MAA10 3D-geometria (2 op)
Yleiset tavoitteet
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- syventää vektorilaskennan tuntemustaan ja oppii käyttämään vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa
- oppii tutkimaan xyz-koordinaatiston pisteitä, suoria ja tasoja vektoreiden avulla
- vahvistaa avaruusgeometrian osaamistaan ääriarvosovellusten yhteydessä
- tutustuu kahden muuttujan funktioon
- osaa käyttää ohjelmistoja vektoreiden, suorien, tasojen ja pintojen havainnollistamisessa sekä vektorilaskennassa.
Keskeiset sisällöt
- vektoriesitys kolmiulotteisessa koordinaatistossa
- piste- ja ristitulo
- piste, suora ja taso avaruudessa
- kulma avaruudessa
- yhden muuttujan differentiaali- ja integraalilaskennan sovelluksia avaruusgeometriassa
- kahden muuttujan funktio ja pinta avaruudessa
Paikalliset kirjaukset
Tarkennuksia sisältöihin
ᴏ Vektorit: xyz-avaruuden vektorit. Suoran suuntavektori ja suoran parametrimuotoinen yhtälö. Tason suuntavektorit ja normaalivektori. Ristitulon laskeminen ohjelmistolla ja ilman. (Tarkastelun painopiste on kuitenkin ristitulon sovelluksissa, esim. tason normaalivektorin määrittäminen, jolloin ristitulon voi määrittää ohjelmistolla). Kulmiin liittyviä laskuja vektorien avulla.
ᴏ Avaruuskappaleet ja ääriarvosovellukset: Sisäkkäisiin avaruuskappaleisiin liittyvät haastavammat tilanteet sekä avaruuskappaleisiin liittyvät ääriarvosovellukset (derivaattatarkastelut).
ᴏ Kahden muuttujan funktio: Reaaliarvoiset funktiot. Kuvaajan piirtäminen ja havainnointi. Kriittisen pisteen havainnointi kuvaajasta. Funktion arvo ja tasa-arvokäyrä.
ᴏ Ohjelmistotaidot
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
ᴏ osaa piirtää avaruuden pisteitä, vektoreita, suoria ja tasoja sekä pintoja
ᴏ osaa laskea vektorien piste- ja ristitulon
ᴏ osaa ratkaista lineaarisen yhtälöryhmän symbolisesti ja graafisesti
ᴏ osaa hyödyntää ohjelmistoja ääriarvosovelluksissa (derivoiminen, nollakohtien ratkaiseminen, kulun havainnointi)
ᴏ oppii piirtämään ja havainnoimaan kahden muuttujan funktion kuvaajaa, laskea funktion arvon sekä määrittää ja havainnollistaa tasa-arvokäyriä.
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu monitieteinen ja luova osaaminen sekä yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että tutustutaan erilaisiin tiedonhankinnan ja -esittämisen tapoihin digiajassa, ja matematiikan kannalta olennaisten monilukutaidon osa-alueiden (sanallinen, numeerinen, symbolinen, kuvallinen) hallintaa syvennetään tavoitteellisesti. Opiskeluun luodaan myös ”yrittäjämäinen” ilmapiiri, joka antaa vapauksia mutta kannustaa vastuunottoon.
Arviointi
Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei välttämättä dokumentoitavaa palautetta. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.
Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen, tuntiaktiivisuuteen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.
Opintojakso arvioidaan numeroarvosanalla 4-10.
MAA11 Algoritmit ja lukuteoria (2 op)
Yleiset tavoitteet
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- tietää, mikä on algoritmi, sekä oppii tutkimaan, kuinka algoritmit toimivat
- laatii yksinkertaisiin matemaattisiin ongelmiin liittyviä algoritmeja
- oppii ohjelmoimaan yksinkertaisia algoritmeja
- perehtyy logiikan käsitteisiin
- hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin
- osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta
- käyttää ohjelmistoja ohjelmoinnissa ja lukujen tutkimisessa.
Keskeiset sisällöt
- Algoritmisen ajattelun peruskäsitteet: peräkkäisyys, valinta ja toisto
- vuokaavio
- yksinkertaisten algoritmien, lajittelualgoritmien tai yhtälön numeerisen ratkaisuun liittyvän algoritmin ohjelmointi
- konnektiivit ja totuusarvot
- kokonaislukujenjaollisuus, jakoyhtälö ja kongruenssi
- Eukleideen algoritmi
- aritmetiikan peruslause
Paikalliset kirjaukset
Tarkennuksia sisältöihin
ᴏ Logiikka: Ja, tai ja ei-konnektiivit sekä yksinkertaiset totuustaulut. Todistamista ei käsitellä erillisenä sisältönä.
ᴏ Ohjelmointi: Ohjelmointi toteutetaan jollakin ohjelmointikielellä, esimerkiksi Pythonilla. Opetussuunnitelman tavoitteita ei voi saavuttaa pelkällä taulukkolaskennalla.
ᴏ Ohjelmistotaidot
Opintojaksossa käytetään ohjelmointia apuna, kun tutkitaan lukujen ominaisuuksia ja erilaisia algoritmeja. Keskeisenä päämääränä on kokonaisuuksien ymmärtäminen ja mielenkiinnon herättäminen.
Esimerkiksi: Laadi ohjelma, joka
ᴏ tulostaa lukujen a ja b jakoyhtälön
ᴏ tulostaa jäännösluokka a mod n sata pienintä positiivista jäsentä
ᴏ tutkii, onko n alkuluku peräkkäisillä jakolaskuilla, joissa jakajina 2, 3, 4, …, .
Ohjelmoimalla voidaan ratkaista lisäksi esimerkiksi seuraavia ongelmia:
ᴏ neliöjuuren likiarvon laskeminen
ᴏ funktion nollakohdan etsiminen puolitusmenetelmällä
ᴏ yhtälön ratkaiseminen Newtonin menetelmällä
ᴏ alkulukututkimus Monte-Carlon menetelmällä.
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen sekä eettisyys ja ympäristöosaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen. Läpi matematiikan opintojen opiskelijaa autetaan myös hahmottamaan, että matematiikan avulla voidaan jäsentää ja ratkaista globaaleja ongelmia.
Arviointi
Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei välttämättä dokumentoitavaa palautetta. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.
Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.
Opintojakso arvioidaan numeroarvosanalla 4-10.
MAA12 Analyysi ja jatkuva jakauma (2 op)
Yleiset tavoitteet
Moduulin tavoitteena on, että opiskelija
- syventää ymmärrystään analyysin peruskäsitteistä
- osaa muodostaa ja tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita
- täydentää integraalilaskennan taitojaan
- perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
- osaa käyttää ohjelmistoja funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja epäoleellisten integraalien laskemisessa sovellusten yhteydessä.
Keskeiset sisällöt
Keskeiset sisällöt
- paloittain määritelty funktio
- funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen
- jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia
- käänteisfunktio
- funktioiden raja-arvot äärettömyydessä
- epäoleelliset integraalit
- jatkuvat jakaumat, normaalijakauma ja normittaminen
Paikalliset kirjaukset
Tarkennuksia sisältöihin
Analyysin peruskäsitteet.
Kerrataan ja syvennetään opintojaksoissa MAA6 ja MAA7 opiskeltuja analyysin käsitteitä: funktion määrittely- ja arvojoukko, raja-arvo, jatkuvuus ja derivoituvuus, derivaatta ja derivaattafunktio, integraalifunktio ja määrätty integraali. Toispuoleinen raja-arvo ja derivaatta. Esimerkkejä epäjatkuvista funktioista sekä funktioista, jotka ovat jatkuvia, mutta eivät ole derivoituvia (esim. itseisarvofunktio). Opintojaksossa voidaan esim. syventää ja laajentaa derivaattatarkasteluja (mm. 2. kertaluvun derivaatta) tai integroimistekniikoita tai tutustua määrätyn integraalin sovelluksiin (mm. käyrän pituus, pyörähdyskappaleen vaipan pinta-ala, funktion keskiarvo).
Jatkuvien funktioiden yleiset ominaisuudet.
Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan jatkuvia. Bolzanon lause: tietyllä välillä jatkuvan funktion erimerkkisten arvojen välissä on nollakohta. Jatkuva funktio voi siis vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa (tai kohdassa, jossa sitä ei ole määritelty). Suljetulla välillä jatkuva funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa sekä kaikki arvot näiden välissä. Derivoituvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lukio-opinnoissa esiintyvät alkeisfunktiot ja itseisarvofunktio ovat määrittelyjoukossaan derivoituvia (paitsi juurifunktiot ja itseisarvofunktio kohdassa x = 0). Derivoituva funktio on jatkuva, mutta jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Derivaatan merkin yhteys funktion kulkuun ja ääriarvoihin (ml. monotonisuuden tutkiminen). Sovelluksina esim. yhtälön juurten olemassaolon ja lukumäärän tutkiminen sekä epäyhtälötarkastelut.
Käänteisfunktio.
Ehto olemassaolo: bijektiivisyys. Esim. aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Määrittely- ja arvojoukko. Lausekkeen ratkaiseminen. Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = x suhteen (mistä seuraa mm., että niiden derivaatat ovat vastinpisteissä toistensa käänteislukuja). Raja-arvot ja epäoleellinen integraali. Raja-arvot äärettömyydessä ja raja-arvona ääretön. Sovelluksena esim. rationaalifunktion asymptootit (pysty- ja vaakasuorat) ja arvojoukko. Raja-arvojen määrittäminen laskemalla (supistukset ja sievennykset. Epäoleellisen integraalin määritelmä raja-arvona: tapaukset, joissa integrointiväli rajoittamaton tai funktion arvojoukko rajoittamaton. Jatkuvat jakaumat. Tiheysfunktio ja kertymäfunktio. Todennäköisyyden ja odotusarvon määrittäminen integraalilaskennan keinoin (ohjelmistolla). Normaalijakauman perusominaisuuksien (mm. symmetria) tunteminen ja esimerkkejä normaalijakaumamallin käytöstä sovelluksissa. Normittamisen periaate ja eri normaalijakaumien vertailu. Binomijakauman yhteys normaalijakaumaan esimerkinomaisesti tarkastellen.
Ohjelmistotaidot
Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
ᴏ oppii piirtämään paloittain määritellyn funktion
ᴏ osaa tutkia funktioiden jatkuvuutta ja derivoituvuutta kuvaajan avulla sekä laskennallisesti
ᴏ osaa määrittää raja-arvoja (myös äärettömyydessä)
ᴏ oppii määrittämään käänteisfunktion lausekkeen (yhtälön avulla) ja käänteisfunktion määrittelyjoukon
ᴏ osaa laskea epäoleellisia integraaleja raja-arvon avulla
ᴏ oppii piirtämään normaalijakaumakuvaajia
ᴏ oppii määrittämään normaalijakaumaan liittyviä todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen sekä ratkaisemaan tuntemattoman odotusarvon tai keskihajonnan symbolisesti tilanteissa, jotka eivät vaadi normittamista
Laaja-alainen osaaminen
Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu vuorovaikutusosaaminen sekä monitieteinen ja luova osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opiskelijoita kannustetaan keskusteluun, omien ratkaisumenetelmien esittämiseen ja oman ajattelun sanoittamiseen sekä yhteistyöhön, yhdessä tutkimiseen ja oppimiseen. Opetuksessa rohkaistaan opiskelijaa myös tarkastelemaan ongelmia uudella tavalla, yhdistelemään asioita sekä soveltamaan matematiikan menetelmiä eri oppiaineissa. Monitieteellinen lähestymistapa voi motivoida oppimaan uutta ja innostaa uteliaisuuteen sekä merkityksien etsimiseen.
Arviointi
Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin, tavoitteiden saavuttamista kohti auttavaa, ei välttämättä dokumentoitavaa palautetta. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista saaduista arvosanoista.
Arvioinnissa kiinnitetään huomiota laskutaitoon, menetelmien valintaan, matemaattisen ajattelun ja ongelmanratkaisun taitoihin, päätelmien perustelemiseen ja analysoimiseen sekä ohjelmistojen valintaan ja käyttöön.
Opintojakso arvioidaan numeroarvosanalla 4-10.