Yhtälöt ja ongelmanratkaisu (8. lk.)

Ryhmäteorian aksioomat

Joukosta [[$G$]] ja operaatiosta [[$(a,b) \mapsto a \circ b$]] koostuva pari [[$(G,\circ)$]] on ryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat:
  1. Jos [[$a,b\in G$]], niin [[$a\circ b \in G$]].
  2. Jos [[$a,b,c\in G$]], niin [[$a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c$]].
  3. On olemassa sellainen [[$e\in G$]], että jos [[$a\in G$]], niin [[$a\circ e = e\circ a = a$]].
  4. Jos [[$a\in G$]], niin on olemassa sellainen [[$a^{-1}\in G$]], että [[$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a = e$]].

Yhtälön ratkaiseminen ryhmässä

Olkoon [[$\ (G,\circ)$]] ryhmä, ja olkoot [[$a,b\in G$]]. Tällöin
[[$a \circ x = b$]]
[[$ \iff a^{-1}\circ(a\circ x)=a^{-1}\circ b $]]
[[$\iff (a^{-1}\circ a)\circ x=a^{-1}\circ b $]]
[[$\iff e\circ x = a^{-1}\circ b$]]
[[$ \iff x = a^{-1}\circ b$]]