Potenssi ja polynomi (≈ 8. lk.)
Potenssilausekkeiden algebra
Olkoon [[$k\in\mathbb{R}_+$]], ja olkoot
[[$$G_k = \{k^x\ |\ x\in\mathbb{R}\}.$$]]
Tällöin [[$\ (G_k,\cdot)$]] on ryhmä, jonka on määritelmänsä nojalla isomorfinen ryhmän [[$\ (\mathbb{R},+)$]] kanssa.
Polynomin määrittely
Reaalikertoimisten polynomien joukoksi kutsutaan joukkoa
[[$$\mathbb{R}[X]=\left\{p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i\ |\ p_0,...,p_i\in\mathbb{R}\right\}$$]]
Olkoot
[[$$P(X)=p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i$$]]
ja
[[$$Q(X)=q_0+q_1X+q_2X^2+...+q_jX^j$$]]
polynomeja, ja oletetaan, että [[$i\leq j$]]. Tällöin määritellään summapolynomiksi [[$\ (P+Q)(X)$]] polynomi
[[$$(P+Q)(X)=(p_0+q_0)+(p_1+q_1)X+...+(p_i+q_i)X^i+q_{i+1}X^{i+1}+...+q_jX^j$$]]
ja tulopolynomiksi [[$\ (PQ)(X)$]] polynomi
[[$$(PQ)(X)=p_0q_0+(p_0q_1+p_1q_0)X+(p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0)X^2...+p_iq_jX^{i+j}.$$]]
Lause. Struktuuri [[$\ \left(\mathbb{R}[X],+,\cdot\right)$]] on kokonaisalue.
[[$$\mathbb{R}[X]=\left\{p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i\ |\ p_0,...,p_i\in\mathbb{R}\right\}$$]]
Olkoot
[[$$P(X)=p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i$$]]
ja
[[$$Q(X)=q_0+q_1X+q_2X^2+...+q_jX^j$$]]
polynomeja, ja oletetaan, että [[$i\leq j$]]. Tällöin määritellään summapolynomiksi [[$\ (P+Q)(X)$]] polynomi
[[$$(P+Q)(X)=(p_0+q_0)+(p_1+q_1)X+...+(p_i+q_i)X^i+q_{i+1}X^{i+1}+...+q_jX^j$$]]
ja tulopolynomiksi [[$\ (PQ)(X)$]] polynomi
[[$$(PQ)(X)=p_0q_0+(p_0q_1+p_1q_0)X+(p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0)X^2...+p_iq_jX^{i+j}.$$]]
Lause. Struktuuri [[$\ \left(\mathbb{R}[X],+,\cdot\right)$]] on kokonaisalue.