Suora ja yhtälöpari
Tämä sivu oppikirjassa
Tämän sivun sisällöt liittyvät Sigma 6 kirjassa kappaleisiin 1.1 Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö ja 1.2 Yhtälöpari.
Suoran yhtälö
Suoran yhtälö annetaan useimmiten ratkaistussa muodossa eli muodossa y = kx + b. Kerrointa k kutsutaan kulmakertoimeksi ja muuttujaa b vain vakioksi.
Tutki täällä, miten kertoimen k muuttaminen vaikuttaa suoran kuvaajaan. Kokeile myös muuttaa vakiota b ja katso, miten se vaikuttaa suoran kuvaajaan.
Suora koordinaatistossa on itse asiassa vain ääretön määrä pisteitä.
Kuvassa on suoran yhtälön y = x + 2 kuvaaja ja useita pisteitä, jotka ovat tällä suoralla. Esimerkiksi piste (3, 5) on suoralla. Piste (5, 3) ei ole suoralla.
Tämä voidaan todeta kokeilemalla pisteen koordinaattien sijoittamista suoran yhtälöön.
Esimerkiksi
(3, 5) ja suoran yhtälö y = x + 2
5 = 3 + 2 eli 5 = 5, joten koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Todetaan, että piste on suoralla.
(5, 3) ja suoran yhtälö on y = x + 2
3 = 5 + 2 eli 3 = 7, mikä ei pidä paikkaansa. Piste ei ole suoralla.
(laskuesimerkki videolla)
Harjoitus
Piirrä yllä olevan linkin takana suoran y = −2x + 4 kuvaaja. Tarkasta kuvasta ovatko pisteet (1, 2), (2, 1) ja (−2, 6) suoralla. Tarkasta laskemalla. (v: on, ei, on)
Voimme käyttää samaa ideaa myös, kun yritämme piirtää suoran yhtälön. Tiedämme, että suoran pitäisi kulkea jossakin kaikilla muuttujan x arvoilla. Jos päätämme tutkia tilannetta vaikka muuttujan x arvoilla 0, 1 ja 2, voimme laskea, mikä pitäisi olla y:n arvo. Sijoitetaan x suoran yhtälöön ja katsotaan, mitä tulee y:n arvoksi.
Esimerkiksi
Suoran yhtälö on y = 3x − 4. Keksitään satunnaisia x-koordinaatin arvoja. Esimerkiksi 0, 1 ja 3
Kun x = 0 niin y = 3 ∙ 0 − 4 = −4
Kun x = 1 niin y = 3 ∙ 1 − 4 = −1
Kun x = 3 niin y = 3 ∙ 3 − 4 = 5
Saadaan kolme koordinaattiparia
(0, −4)
(1, −1)
(3, 5)
Kun nämä pisteet merkitään koordinaatistoon, niiden kautta voidaan piirtää suoran kuvaaja.
Harjoitus
Valitse mikä tahansa suoran yhtälö, joka on muotoa y = kx + b ja piirrä sen kuvaaja koordinaatistoon.
Valitse jokin suoran yhtälö, jonka kulmakerroin (k) on positiivinen ja toinen jonka kulmakerroin on negatiivinen luku. Miten kuvaajat eroavat toisistaan?
Minkälainen vakio on sellaisessa suorassa, joka kulkee origon (0, 0) kautta?
Tutki täällä, miten kertoimen k muuttaminen vaikuttaa suoran kuvaajaan. Kokeile myös muuttaa vakiota b ja katso, miten se vaikuttaa suoran kuvaajaan.
Suora koordinaatistossa on itse asiassa vain ääretön määrä pisteitä.
Kuvassa on suoran yhtälön y = x + 2 kuvaaja ja useita pisteitä, jotka ovat tällä suoralla. Esimerkiksi piste (3, 5) on suoralla. Piste (5, 3) ei ole suoralla.
Tämä voidaan todeta kokeilemalla pisteen koordinaattien sijoittamista suoran yhtälöön.
Esimerkiksi
(3, 5) ja suoran yhtälö y = x + 2
5 = 3 + 2 eli 5 = 5, joten koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Todetaan, että piste on suoralla.
(5, 3) ja suoran yhtälö on y = x + 2
3 = 5 + 2 eli 3 = 7, mikä ei pidä paikkaansa. Piste ei ole suoralla.
(laskuesimerkki videolla)
Harjoitus
Piirrä yllä olevan linkin takana suoran y = −2x + 4 kuvaaja. Tarkasta kuvasta ovatko pisteet (1, 2), (2, 1) ja (−2, 6) suoralla. Tarkasta laskemalla. (v: on, ei, on)
Voimme käyttää samaa ideaa myös, kun yritämme piirtää suoran yhtälön. Tiedämme, että suoran pitäisi kulkea jossakin kaikilla muuttujan x arvoilla. Jos päätämme tutkia tilannetta vaikka muuttujan x arvoilla 0, 1 ja 2, voimme laskea, mikä pitäisi olla y:n arvo. Sijoitetaan x suoran yhtälöön ja katsotaan, mitä tulee y:n arvoksi.
Esimerkiksi
Suoran yhtälö on y = 3x − 4. Keksitään satunnaisia x-koordinaatin arvoja. Esimerkiksi 0, 1 ja 3
Kun x = 0 niin y = 3 ∙ 0 − 4 = −4
Kun x = 1 niin y = 3 ∙ 1 − 4 = −1
Kun x = 3 niin y = 3 ∙ 3 − 4 = 5
Saadaan kolme koordinaattiparia
(0, −4)
(1, −1)
(3, 5)
Kun nämä pisteet merkitään koordinaatistoon, niiden kautta voidaan piirtää suoran kuvaaja.
Harjoitus
Valitse mikä tahansa suoran yhtälö, joka on muotoa y = kx + b ja piirrä sen kuvaaja koordinaatistoon.
Valitse jokin suoran yhtälö, jonka kulmakerroin (k) on positiivinen ja toinen jonka kulmakerroin on negatiivinen luku. Miten kuvaajat eroavat toisistaan?
Minkälainen vakio on sellaisessa suorassa, joka kulkee origon (0, 0) kautta?
Liitteet:
Yhtälöpari
Yhtälöpari (tai laajemmin yhtälöryhmä) antaa ratkaisuna sellaiset muuttujien x ja y arvot, jotka toteuttavat molemmat yhtälöt.
Katso simulaatiota leikkaavista suorista täällä. Leikkauspisteen koordinaatit ovat ainoat muuttujien x ja y arvot, jotka toteuttavat molemmat suoran yhtälöt.
Esimerkiksi
Suorien yhtälöt ovat y = 2x + 1 ja y = x + 2. Suorien yhtälöistä voidaan muodostaa yhtälöpari.
[[$ \left\{\begin{matrix} y = &2x + 1 \\ y = &x + 2 \end{matrix}\right. $]]
Suorat leikkaavat pisteessä (1, 3). Sijoittamalla todetaan, että koordinaatit toteuttavat molemmat suoran yhtälöt.
[[$ 3 = 2 \cdot 1 + 2 \\3 = 3 $]]
[[$ 3 = 1 + 2 \\3 = 3 $]]
Voidaan todeta, että yhtälöparin ratkaisu on x = 1, y = 3.
Harjoitus
a) Tutki yllä olevassa simulaatiossa, mikä on suorien y = 3x + 5 ja y = 1,5x + 2 leikkauspiste ja osoita sijoittamalla, että piste toteuttaa molemmat suorien yhtälöt.
b) Ratkaise simulaation avulla yhtälöpari
[[$ \left\{\begin{matrix} y= &x-1 \\ y= &-2x+2 \end{matrix}\right. $]]
(v: a) (−2, −1) b) x = 1 ja y = 0)
Yhtälöparin ratkaisemiseen on kaksi yleisesti käytettyä tapaa. Ensimmäinen on sijoitusmenetelmä ja toinen yhteenlaskumenetelmä (joskus puhutaan eliminointimenetelmästä). Molemmilla ratkaisutavoilla saa tietysti saman vastauksen, mutta joskus toisen käyttö on paljon helpompaa.
Katso esimerkki
- yksinkertaisesta sijoitusmenetelmän käytöstä (suorien leikkauspiste on ratkaistu jo aiemmallakin kurssilla)
- sijoitusmenetelmästä, kun tilanne on vähän monimutkaisempi
- yhteenlaskumenetelmästä, joka on usein hyvä keino välttää murtoluvuilla laskentaa
Harjoitus
Ratkaise yhtälöparit
a) Kaksi ratkaisussa muodossa olevaa suoran yhtälöä.
[[$ \left\{\begin{matrix} y= &-3x-2 \\ y= &-x+2 \end{matrix}\right. $]]
b) Sijoitusmenetelmä on helpoin tapa.
[[$ \left\{\begin{matrix} 2y+6x= -4 \\ x =2-y \end{matrix}\right. $]]
c) Ratkaisu voi olla helpoin yhteenlaskumenetelmällä.
[[$ \left\{\begin{matrix} 2y+6x= -4 \\ 3y+3x =6 \end{matrix}\right. $]]
(v: x = −2, y = 4)
Tehtäviä voit harjoitella myös YLE:n abitreenit sivustolla.
Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 1, Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 2, Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 3
Lisää yhtälöparitehtäviä math.fi-sivustolla
Voit tutustua myös yhtälöparin ratkaisemiseen CAS-laskennan avulla Geogebrassa.
Usein tehtävänä on ensin muodostaa ratkaistava yhtälöpari sanallisesta tehtävästä. Sovellustehtävä lähtee liikkeelle siitä, että pitää määrittää, mitkä ovat tuntemattomat kaksi asiaa, joiden lukuarvo pitää selvittää. Näitä tuntemattomia määriä merkitään alussa muuttujilla x ja y.
Jotta voidaan ratkaista kaksi tuntematonta, pitää tehdä kaksi yhtälöä. Seuraava askel on etsiä tehtävästä kaksi tiedonpalaa, joiden varassa voit muodostaa kaksi järkevää yhtälöä (lausetta), joissa esiintyy x ja y.
Esimerkiksi
Maatilalla on kanoja ja kaneja. Eläimiä on yhteensä 14. Niillä on yhteensä 40 jalkaa. Kuinka monta kanaa maatilalla on? Kuinka monta kania maatilalla on?
Ensin todetaan, että tuntemattomia ovat kanien ja kanojen määrät. Merkitään esimerkiksi että x = kanojen lukumäärä ja y = kanien lukumäärä.
Tiedetään, että eläimiä on yhteensä 14. Siis "kanojen määrä plus kanien määrä on 14". Saadaan yhtälö x + y = 14.
Lisäksi tiedetään, että eläimillä on yhteensä 40 jalkaa. Kanalla on kaksi jalkaa. Kun kanoja on x kpl, jalkoja pitää olla 2 ∙ x kpl. Kaneilla on yhteensä 4y jalkaa. Yhteensä jalkoja pitää olla 40, joten saadaan yhtälö 2x + 4y = 40.
Ratkaistava yhtälöpari on
[[$ \left\{\begin{matrix} x+y= 14 \\ 2x+4y =40 \end{matrix}\right. $]]
Katso esimerkki sovellustehtävästä.
Harjoittele YLE:n sivuilla:
Yhtälöparin sovellus: siat ja lehmät
Sovellustehtäviä yhtälöpareista
K. Väisälän algebran oppikirjassa on harjoituksia useista aiheista, mutta täällä sivulta 46 alkaen löydät tehtäviä yhtälöpareista. Vastauksia löydät täältä. Voit myös tarkastaa ratkaisut Geogebrassa.
Yhtälöpari ei rajoitu pelkästään ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Voit katsoa, miten määritetään paraabelin ja suoran leikkauspisteet täällä.
Katso simulaatiota leikkaavista suorista täällä. Leikkauspisteen koordinaatit ovat ainoat muuttujien x ja y arvot, jotka toteuttavat molemmat suoran yhtälöt.
Esimerkiksi
Suorien yhtälöt ovat y = 2x + 1 ja y = x + 2. Suorien yhtälöistä voidaan muodostaa yhtälöpari.
[[$ \left\{\begin{matrix} y = &2x + 1 \\ y = &x + 2 \end{matrix}\right. $]]
Suorat leikkaavat pisteessä (1, 3). Sijoittamalla todetaan, että koordinaatit toteuttavat molemmat suoran yhtälöt.
[[$ 3 = 2 \cdot 1 + 2 \\3 = 3 $]]
[[$ 3 = 1 + 2 \\3 = 3 $]]
Voidaan todeta, että yhtälöparin ratkaisu on x = 1, y = 3.
Harjoitus
a) Tutki yllä olevassa simulaatiossa, mikä on suorien y = 3x + 5 ja y = 1,5x + 2 leikkauspiste ja osoita sijoittamalla, että piste toteuttaa molemmat suorien yhtälöt.
b) Ratkaise simulaation avulla yhtälöpari
[[$ \left\{\begin{matrix} y= &x-1 \\ y= &-2x+2 \end{matrix}\right. $]]
(v: a) (−2, −1) b) x = 1 ja y = 0)
Yhtälöparin ratkaisemiseen on kaksi yleisesti käytettyä tapaa. Ensimmäinen on sijoitusmenetelmä ja toinen yhteenlaskumenetelmä (joskus puhutaan eliminointimenetelmästä). Molemmilla ratkaisutavoilla saa tietysti saman vastauksen, mutta joskus toisen käyttö on paljon helpompaa.
Katso esimerkki
- yksinkertaisesta sijoitusmenetelmän käytöstä (suorien leikkauspiste on ratkaistu jo aiemmallakin kurssilla)
- sijoitusmenetelmästä, kun tilanne on vähän monimutkaisempi
- yhteenlaskumenetelmästä, joka on usein hyvä keino välttää murtoluvuilla laskentaa
Harjoitus
Ratkaise yhtälöparit
a) Kaksi ratkaisussa muodossa olevaa suoran yhtälöä.
[[$ \left\{\begin{matrix} y= &-3x-2 \\ y= &-x+2 \end{matrix}\right. $]]
b) Sijoitusmenetelmä on helpoin tapa.
[[$ \left\{\begin{matrix} 2y+6x= -4 \\ x =2-y \end{matrix}\right. $]]
c) Ratkaisu voi olla helpoin yhteenlaskumenetelmällä.
[[$ \left\{\begin{matrix} 2y+6x= -4 \\ 3y+3x =6 \end{matrix}\right. $]]
(v: x = −2, y = 4)
Tehtäviä voit harjoitella myös YLE:n abitreenit sivustolla.
Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 1, Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 2, Lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen 3
Lisää yhtälöparitehtäviä math.fi-sivustolla
Voit tutustua myös yhtälöparin ratkaisemiseen CAS-laskennan avulla Geogebrassa.
Usein tehtävänä on ensin muodostaa ratkaistava yhtälöpari sanallisesta tehtävästä. Sovellustehtävä lähtee liikkeelle siitä, että pitää määrittää, mitkä ovat tuntemattomat kaksi asiaa, joiden lukuarvo pitää selvittää. Näitä tuntemattomia määriä merkitään alussa muuttujilla x ja y.
Jotta voidaan ratkaista kaksi tuntematonta, pitää tehdä kaksi yhtälöä. Seuraava askel on etsiä tehtävästä kaksi tiedonpalaa, joiden varassa voit muodostaa kaksi järkevää yhtälöä (lausetta), joissa esiintyy x ja y.
Esimerkiksi
Maatilalla on kanoja ja kaneja. Eläimiä on yhteensä 14. Niillä on yhteensä 40 jalkaa. Kuinka monta kanaa maatilalla on? Kuinka monta kania maatilalla on?
Ensin todetaan, että tuntemattomia ovat kanien ja kanojen määrät. Merkitään esimerkiksi että x = kanojen lukumäärä ja y = kanien lukumäärä.
Tiedetään, että eläimiä on yhteensä 14. Siis "kanojen määrä plus kanien määrä on 14". Saadaan yhtälö x + y = 14.
Lisäksi tiedetään, että eläimillä on yhteensä 40 jalkaa. Kanalla on kaksi jalkaa. Kun kanoja on x kpl, jalkoja pitää olla 2 ∙ x kpl. Kaneilla on yhteensä 4y jalkaa. Yhteensä jalkoja pitää olla 40, joten saadaan yhtälö 2x + 4y = 40.
Ratkaistava yhtälöpari on
[[$ \left\{\begin{matrix} x+y= 14 \\ 2x+4y =40 \end{matrix}\right. $]]
Katso esimerkki sovellustehtävästä.
Harjoittele YLE:n sivuilla:
Yhtälöparin sovellus: siat ja lehmät
Sovellustehtäviä yhtälöpareista
K. Väisälän algebran oppikirjassa on harjoituksia useista aiheista, mutta täällä sivulta 46 alkaen löydät tehtäviä yhtälöpareista. Vastauksia löydät täältä. Voit myös tarkastaa ratkaisut Geogebrassa.
Yhtälöpari ei rajoitu pelkästään ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Voit katsoa, miten määritetään paraabelin ja suoran leikkauspisteet täällä.
