Lausekkeen arvo tasoalueessa
Tämä sivu oppikirjassa
Tämän sivun sisällöt liittyvät Sigma 6 -kirjassa kappaleisiin 1.4 Lausekkeen arvo tasoalueessa ja 1.5 Sovelluksia lineaarisesta optimoinnista.
Lausekkeen arvo tasoalueessa
Epäyhtälöt ja epäyhtälöryhmät rajaavat usein mahdolliset muuttujan arvot. Tasoalueessa on kuitenkin ääretön määrä pisteitä. Usein olemme kiinnostuneet siitä, missä pisteessä jokin lauseke saa suurimman arvon.
Esimerkiksi
Epäyhtälöryhmä
[[$ \left\{\begin{matrix} y\leq 2x\\ y\leq -x+6\\ y\geq 1 \end{matrix}\right. $]]
Rajaa koordinaatistoon kuvan mukaisen alueen.
Missä tason pisteessä lauseke x + 2y saa suurimman arvon?
Tasoalueessa on ääretön määrä pisteitä, mutta tehtävä helpottuu paljon, kun tiedämme, että lausekkeen suurin ja pienin arvo löytyvät tasoalueen kärkipisteistä.
Tutkitaan lausekkeen arvo eri pisteissä sijoittamalla kukin piste vuorollaan
(0,5 ; 1), josta saadaan 0,5 + 2 ∙ 1 = 2,5
(5, 1), josta saadaan 5 + 2 ∙ 1 = 7
(2, 4), josta saadaan 2 + 2 ∙ 4 = 10
Lausekkeen pienin arvo tasoalueessa on siis 2,5, joka saadaan arvoilla x = 0,5 ja y = 1.
Lausekkeen suurin arvo tasolueessa on 10, joka saadaan arvoilla x = 2 ja y = 4.
Tutustu myös esimerkkiin lausekkeen arvosta tasoalueessa Sotungin matikan videolla.
Harjoitus
a) Määritä lausekkeen x + y suurin ja pienin arvo kuvassa esitetyllä alueella.
b) Määritä lausekkeen 2x − 3y suurin ja pienin arvo kuvassa esitetyllä alueella.
(v: a) suurin arvo 3 ja pienin arvo −3. b) suurin arvo 4 ja pienin arvo −7.)
Esimerkiksi
Epäyhtälöryhmä
[[$ \left\{\begin{matrix} y\leq 2x\\ y\leq -x+6\\ y\geq 1 \end{matrix}\right. $]]
Rajaa koordinaatistoon kuvan mukaisen alueen.
Missä tason pisteessä lauseke x + 2y saa suurimman arvon?
Tasoalueessa on ääretön määrä pisteitä, mutta tehtävä helpottuu paljon, kun tiedämme, että lausekkeen suurin ja pienin arvo löytyvät tasoalueen kärkipisteistä.
Tutkitaan lausekkeen arvo eri pisteissä sijoittamalla kukin piste vuorollaan
(0,5 ; 1), josta saadaan 0,5 + 2 ∙ 1 = 2,5
(5, 1), josta saadaan 5 + 2 ∙ 1 = 7
(2, 4), josta saadaan 2 + 2 ∙ 4 = 10
Lausekkeen pienin arvo tasoalueessa on siis 2,5, joka saadaan arvoilla x = 0,5 ja y = 1.
Lausekkeen suurin arvo tasolueessa on 10, joka saadaan arvoilla x = 2 ja y = 4.
Tutustu myös esimerkkiin lausekkeen arvosta tasoalueessa Sotungin matikan videolla.
Harjoitus
a) Määritä lausekkeen x + y suurin ja pienin arvo kuvassa esitetyllä alueella.
b) Määritä lausekkeen 2x − 3y suurin ja pienin arvo kuvassa esitetyllä alueella.
(v: a) suurin arvo 3 ja pienin arvo −3. b) suurin arvo 4 ja pienin arvo −7.)
Liitteet:
Lineaarinen optimointi sanallisissa tehtävissä
Lineaarisen optimoinnin sanalliset tehtävät yhdistävät kaikkea tähän asti kurssilla harjoiteltua. Ratkaisun vaiheita ovat
- muuttujien (x ja y) päättäminen
- optimoitavan lausekkeen muodostaminen (lauseke, jonka suurinta ja pienintä arvoa etsitään)
- rajoituksia kuvaavien epäyhtälöiden muodostaminen
- rajoituksien piirtäminen koordinaatistoon
- alueen kärkipisteiden selvittäminen yhtälöpareilla
- kärkipisteiden koordinaattien kokeilu optimoitavaan lausekkeeseen, joka keksittiin alussa
- oikean vastauksen päätteleminen tuloksista
Voit harjoitella tehtävätyyppiä ohjatun esimerkin avulla, jonka löydät liitetiedostosta.
Sanallisia lineaarisen optimoinnin tehtäviä löydät esimerkiksi vanhasta matematiikan etämateriaalista täällä sekä tältä sivulta.
- muuttujien (x ja y) päättäminen
- optimoitavan lausekkeen muodostaminen (lauseke, jonka suurinta ja pienintä arvoa etsitään)
- rajoituksia kuvaavien epäyhtälöiden muodostaminen
- rajoituksien piirtäminen koordinaatistoon
- alueen kärkipisteiden selvittäminen yhtälöpareilla
- kärkipisteiden koordinaattien kokeilu optimoitavaan lausekkeeseen, joka keksittiin alussa
- oikean vastauksen päätteleminen tuloksista
Voit harjoitella tehtävätyyppiä ohjatun esimerkin avulla, jonka löydät liitetiedostosta.
Sanallisia lineaarisen optimoinnin tehtäviä löydät esimerkiksi vanhasta matematiikan etämateriaalista täällä sekä tältä sivulta.
