Logaritmifunktio ja -yhtälö

Teoria ja esimerkit

Potenssifunktio ja logaritmifunktio ovat toistensa ns. käänteisfunktioita (kuvaajat peilikuvia suoran y = x suhteen).
- Esim. a^x:n pistettä (3, 5) vastaa log_a x:n piste (5,3)

Lause: Logaritmifunktio on jatkuva, kun a > 0 ja
- kasvava, kun a > 1
- vähenevä, kun 0 < a < 1

Esim 1
Milloin $f\left(x\right)=\log_3\left(x-1\right)$ on määritelty? Määritä nollakohdat.

Esim 2
Ratkaise $2\ln x=\ln\left(2x-1\right)$ .

Esim 3
Määritä funktioiden $f\left(x\right)=\lg\left(x+4\right)$ ja $g\left(x\right)=2-\lg\left(x-4\right)$ leikkauspisteet.

Vastaukset

ESIM 1
$f\left(x\right)=\log_3\left(x-1\right)$
Määritelty, kun x-1>0 eli kun x>1.

Nollakohdat:
$\log_3\left(x-1\right)=0$
$3^{\log_3\left(x-1\right)}=3^0$
$x-1=1$
$x=2$

ESIM 2

Vasen puoli määritelty, kun x > 0, oikea puoli, kun 2x-1>0 eli x>½. Vastauksen pitää siis olla x > ½.

$2\ln x=\ln\left(2x-1\right)$

$\ln x^2=\ln\left(2x-1\right)$
$x^2=2x-1$
$x^2-2x+1=0$
$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot1}}{2}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{0}}{2}=1$

ESIM 3
Määritä funktioiden $f\left(x\right)=\lg\left(x+4\right)$ ja $g\left(x\right)=2-\lg\left(x-4\right)$ leikkauspisteet.

Funktio f(x) määritelty, kun x > -4 ja g(x), kun x > 4. Ratkaisu voi siis löytyä, jos x > 4.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)$
$\lg\left(x+4\right)=2-\lg\left(x-4\right)$ || pitäisi saada lg(jtn1) = lg(jtn2)

$\lg\left(x+4\right)+\lg\left(x-4\right)=2$
$\lg\left(\left(x+4\right)\left(x-4\right)\right)=\lg100$

$x^2-16=100$

$x^2=116$
$x=\pm\sqrt{116}$ || Negatiivinen ei käy, x>4

$x=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$

$y=f\left(2\sqrt{29}\right)=\lg\left(2\sqrt{29}+4\right)$

V: Leikkauspiste on $\left(\ \sqrt{116}{,}\ \ \ \ \lg\left(\sqrt{116}+4\right)\right)$ .

Malliratkaisuja

456.
$\ln\left(5x-1\right)=\ln\left(2x\right)$
$\text{Määrittelyjoukko: }\ 5x-1>0\ \text{ja}\ 2x>0$
$x>\frac{1}{5}$

$5x-1=2x$

$3x=1$
$x=\frac{1}{3}$

$2\log_2x=\log_2\left(3x+4\right)$

Määrittelyjoukko:
$x>0\ \text{ja}\ 3x+4>0\ \text{eli}\ x>-\frac{4}{3}$
$x>0$

$2\log_2x=\log_2\left(3x+4\right)$

$\log_2x^2=\log_2\left(3x+4\right)$
$x^2=3x+4$
$\left(x=-1\right)\ \text{tai}\ x=4$

v: x = 4

-------------------------

D ln x = 1/x todistus:

$f\left(x\right)=\ln x$

Derivoidaan kohdassa x = x_0

$f'\left(x_0\right)=\lim_{x\rightarrow}x_0\left(\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}\right)$
$y=\ln x{,}\ \ \ y_0=\ln x_0{,}\ \ \text{joten}\ \ x=e^y\ \text{ja}\ x_0=e^{y_0}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}\right)=\lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{y-y_0}{e^y-e^{y_0}}\right)=\lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{1}{\frac{e^y-e^{y_0}}{y-y_0}}\right)$ || $\lim_{y\rightarrow y_0}\left(\frac{e^y-e^{y_0}}{y-y_0}\right)=e^{y_0}$

$=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{1}{e^{y_0}}\right)=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{1}{x_0}\right)=\frac{1}{x_0}$