Logaritmin derivaatta

Teoria ja esimerkit

$\text{D}\left(\ln x\right)=\frac{1}{x}{,}\ \ \ \text{kun}\ x>0$
$\text{D}\left(\ln\right|x\left|\right)=\frac{1}{x}{,}\ \ \ \text{kun}\ x\ne0$
$\text{D}\left(\log_ax\right)=\frac{1}{x\ln a}{,}\ \ \ \text{kun}\ x>0$

ESIM 1
Derivoi
a) $\ln2x$
b) $\ln\ x^2$
c) $x\ln x$
d) $\ln\left(2x^5-4x^2\right)$

ESIM 2
Mikä on funktion $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$ , x > 0, suurin arvo? [K12/5]

Vastaukset

ESIM 1
$\text{D}\ln2x=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1}{x}$ , x > 0

$\text{D}\ln x^2=\text{D}2\ln x=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}$ , x > 0

$\text{D}\left(x\ln x\ \right)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$ , x > 0

$\text{D}\left(\ln\left(2x^5+4x^2\right)\right)=\frac{1}{2x^5+4x^2}\cdot\left(10x^4+8x\right)=\frac{2x\left(5x^3+4\right)}{2x\left(x^4+x\right)}=\frac{5x^3+4}{x^4+x}$ , x > 0

ESIM 2

Mikä on funktion $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$ , x > 0, suurin arvo? [K12/5]

$f'\left(x\right)=\frac{f'g-fg'}{g^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

Etsitään nollakohdat:

$f'\left(x\right)=0$

$\frac{1-\ln x}{x^2}=0$
$1-\ln x=0$

$\ln x=1$ || $e^{\left(\ \right)}$
$x=e^1=e$

Kuuluu määrittelyjoukkoon.

$f'\left(1\right)=\frac{1-\ln1}{1^2}=\frac{1-0}{1}=1>0$

$f'\left(3\right)=\frac{1-\ln3}{3^2}<0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(\ln3>1\right)$
$\begin{array}{l|l} &0&&e&\\ \hline f'\left(x\right)&\mathrm{ei\ määr.}&+&0&-\\ f\left(x\right)&\mathrm{ei\ määr.}&\nearrow&\mathrm{maks}&\searrow \end{array}$

Kulkukaavion perusteella suurin arvo on $f\left(e\right)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}$