1.1 Jaollisuus ja jakoyhtälö

Jakoyhtälö

ESIM 1. Laske 437 : 13 jakokulmassa.

$\begin{array}{l|l} &&3&3&\\ \hline 13&4&3&7&\\ -&3&9&&\\ &&4&7&\\ &-&3&9&\\ &&&8& \end{array}$

437 = 33 * 13 + 8

Luku 13 menee 437:ään 33 kertaa ja jää 8.

Siis kun luku 437 jaetaan luvulla 13, (vaillinainen) osamäärä on 33 ja jakojäännös on 8.

Luku 437 voidaan siis kirjoittaa yhtälönä:

437 = 33 * 13 + 8

Jakoyhtälö

Jaettava = osamäärä * jakaja + jakojäännös

Jokainen kokonaisluku a voidaan esittää seuraavassa muodossa, kun n ∈ ℤ₊

a = qn + r , missä q ja r ∈ ℤ, 0 ≤ r < n

ESIM 2. Kirjoita jakoyhtälö laskulle 268 : 11 (”…luvuille 268 ja 11”).

268 = 24 * 11 + 4

ESIM 3. Kirjoita jakoyhtälö luvuille –19 ja 6.

(-19/6 = -3,... => -19 = -3 * 6 - 1) ei käy, r pitäisi olla positiivinen
-19 = -4 * 6 + 5

ESIM 4. Kirjoita jakoyhtälö luvuille 347 ja 12.

347 : 12 = 28,916... (osamäärä siis 28)
347 - 12*28 = 11 (jakojäännös)

347 = 28 * 12 + 11

HUOM! Kun muutetaan kymmenjärjestelmän luku toiseen, käytetään jakoyhtälöä.

ESIM 4. Muuta 145₁₀ viisijärjestelmään.
Käytetään jakoyhtälöä toistuvasti. Otetaan edellinen osamäärä jaettavaksi, kunnes osamäärä 0. Luetaan vastaukseksi jakojäännökset lopusta alkuun.
145 = 29 * 5 + 0
29 = 5 * 5 + 4
5 = 1 * 5 + 0
1 = 0 * 5 + 1

1040₅

HUOM! Jokainen kokonaisluku on joko parillinen (2n) tai pariton (2n + 1); tässä siis n = 2.

ESIM. Olkoon jakaja 5. Tällöin jokainen kokonaisluku on jotain seuraavaa muotoa: (jakoyhtälön a = q * n + r mukaisesti, n = 5)

r = 0:             q * 5 + 0 = 5q
r = 1:             q * 5 + 1 = 5q + 1
r = 2:             q * 5 + 2 = 5q + 2
r = 3:             q * 5 + 3 = 5q + 3
r = 4:             q * 5 + 4 = 5q + 4

Toisin sanoen: Kun luku jaetaan 5:llä, jakojäännös on 0, 1, 2, 3 tai 4.

Jaollisuus

Kokonaisluku a on jaollinen luvulla b, jos on olemassa sellainen kokonaisluku c, että

a = bc

Tällöin merkitään b | a (jakorelaatio, luetaan ”b jakaa luvun a” tai ”a jaollinen b:llä”).
Tällöin luku b on luvun a tekijä. Voidaan sanoa myös, että luku a on luvun b monikerta.

ESIM 1. Osoita, että 14 | 1246

1246 = 14 * 89.

HUOM!

Jos a ei ole jaollinen luvulla b, niin merkitään b $\not\mid$ a (\not\mid)
1 | a, a | a, –a | a ja a | 0 kaikilla kokonaisluvuilla a
Kokonaislukujen jaollisuussääntöjä, kirja s. 55.

Jaollisuussäännöt

Kokonaisluku on jaollinen kymmenjärjestelmässä:

yhdellä aina. (1 | a)
itsellään aina. (a | a)
kahdella, jos se päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8.
kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.
neljällä, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä.
viidellä, jos se päättyy numeroon 0 tai 5.
kuudella, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella tai sen numeroiden summa kerrottuna neljällä on jaollinen kuudella.
seitsemällä, jos seuraava erotus on jaollinen seitsemällä: luvusta poistetaan viimeinen numero ja vähennetään se kahdella kerrottuna jäljelle jääneestä luvusta
kahdeksalla, jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla.
yhdeksällä, jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä.
kymmenellä, jos se päättyy numeroon 0.
yhdellätoista, jos luku, joka saadaan kun luvun numerot vuorotellen lisätään ja vähennetään, on jaollinen 11:llä.

ESIM 3. Onko luku jaollinen luvulla 3, 7, 8, 9, 11.
a) 2574
Kolmosella: 2+5+7+4=18, joka on jaollinen 3:lla. Siis: 3 | 2574.

Seiskalla: 257 - 2*4 = 249
24 - 2*9 = 6, ei ole jaollinen 7:lla. Siis 7 $\not\mid$ 2574.

ESIM 4. Määritä jakojäännös jakolaskua suorittamatta: 12 674 593 : 4.

***