MAA11-vihko

Teoria ja esimerkit

Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1. Kokonaisluku, joka ei ole alkuluku, on yhdistetty luku.

HUOM! Alkuluku on jaollinen myös vastaluvullaan ja luvulla –1.

HUOM! Alkutekijä on luvun tekijä, joka on alkuluku.

ESIM 1. Jaa luku 12 a) tekijöihin b) alkutekijöihin.

a) Luvun 12 voi jakaa luvuilla 2, 6, 3, 4, 12, 1.

b) $12=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3$

Aritmetiikan peruslause: Jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää vain yhdellä tavalla alkulukujen tulona.

ESIM 2. Jaa luvut alkutekijöihin a) 111 b) 2520.

a) $111=3\cdot37$

b) $2520=10\cdot252=2\cdot5\cdot2\cdot126=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot63$
$=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot3\cdot21=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot3\cdot7\cdot3=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7$
tai
$2520=2\cdot1260=2^3\cdot315=2^3\cdot5\cdot63=2^3\cdot5\cdot7\cdot3^2$

Lause: Alkulukuja on äärettömän paljon.
Lause: Olkoon luvut a, b ja c ∈ ℤ. Tällöin, jos a = bc, niin $b\le\sqrt{a}$ tai $c\le\sqrt{a}$ .

Lauseesta seuraa, että luvun n osoittamiseksi alkuluvuksi riittää, että luku n jaetaan jokaisella alkuluvulla p, jolle pätee, että 1 < p < sqrt n. Jos mikään jakolasku ei tuota kokonaislukua, luku n on alkuluku.

Eratostheneen seula

Vedetään yli 2:lla jaolliset luvut, sitten 3:lla, sitten 5:llä jne. Jäljelle jäävät ovat alkulukuja. Seulan avulla on helppo etsiä tiettyä lukua pienemmät alkuluvut.

ESIM 3. Etsi lukua 50 pienemmät alkuluvut.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Ratkaisu: Koska sqrt 50 = 7,01..., rittää, että vedetään yli luvut, jotka on jaollisia alkuluvuilla 2, 3, 5 ja 7.

ESIM 4. Tutki, onko luku a) 113 b) 137 alkuluku.

a) $\sqrt{113}=10{,}63...$ , joten tutkitaan, onko 113 jaollinen alkuluvuilla 2, 3, 5, 7.
113 / 2 = 56,5
113 / 3 = 37,66...
113 / 5 = 22,6
113 / 7 = 16,14...
Ei ole jaollinen näillä, joten on alkuluku.

b) $\sqrt{137}=11{,}7...$
tutkitaan, onko 137 jaollinen alkuluvuilla 2, 3, 5, 7, 11.
Ei ole jaollinen millään noista, joten on alkuluku.

---------

Suurin yhteinen tekijä
Jos kaksi lukua on molemmat jaollisia luvulla n ∈ ℤ₊, on n silloin lukujen yhteinen tekijä.

Suurin lukujen a ja b yhteisistä tekijöistä on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä. Merkitään syt(a, b).

ESIM. Etsi lukujen 12 ja 30 suurin yhteinen tekijä.

12 = 2*2*3
30 = 2*3*5

Yhteiset tekijät 2*3, joten suurin yhteinen tekijä on 6.

Pienin yhteinen jaettava

Lukujen a ja b pienin yhteinen jaettavaon pienin positiivinen kokonaisluku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla a ja b. Merkitään pyj(a, b).

HUOM! Voidaan myös puhua pienimmästä yhteisestä monikerrasta.
Kun murtoluvut lavennetaan samannimisiksi, niiden nimittäjäksi yritetään saada nimittäjien pienin yhteinen jaettava.
(Murtolukujen supistaminen on osoittajan ja nimittäjän jakamista niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä.)

Miten: Jaetaan molemmat alkutekijöihin. Pienimmän yhteisen monikerran tekijöitä ovat molempien tekijät mutta yhteiset vain kerran.

ESIM. Etsi lukujen 12 ja 30 pienin yhteinen monikerta.

12 = 2 * 2 * 3
30 = 2 * 3 * 5

(2 ja 3 valittiin jo) Pienin yhteinen monikerta on 2 * 2 * 3 * 5 = 60.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50