Jakoyhtälö

ESIM 1.  Laske 437 : 13 jakokulmassa.

 

437 = 33 * 13 + 8

Luku 13 menee 437:ään 33 kertaa ja jää 8.

Siis kun luku 437 jaetaan luvulla 13, (vaillinainen) osamäärä on 33 ja jakojäännös on 8.

Luku 437 voidaan siis kirjoittaa yhtälönä: 

437 = 33 * 13 + 8

 

---

Jakoyhtälö

 Jaettava = osamäärä * jakaja + jakojäännös 

Jokainen kokonaisluku a voidaan esittää seuraavassa muodossa, kun n ∈ ℤ₊

 a = qn + r , missä q ja r ∈ ℤ,  0 ≤ r < n

---

ESIM 2.  Kirjoita jakoyhtälö laskulle 268 : 11 (”…luvuille 268 ja 11”).

268 = 24 * 11 + 4

ESIM 3. Kirjoita jakoyhtälö luvuille –19 ja 6.

(-19/6 = -3,... =>  -19 = -3 * 6 - 1) ei käy, r pitäisi olla positiivinen
-19 = -4 * 6 + 5

ESIM 4.  Kirjoita jakoyhtälö luvuille 347 ja 12.

 347 : 12 = 28,916... (osamäärä siis 28)
 347 - 12*28 = 11 (jakojäännös)

347 = 28 * 12 + 11

HUOM! Kun muutetaan kymmenjärjestelmän luku toiseen, käytetään jakoyhtälöä.

ESIM 4. Muuta 145₁₀ viisijärjestelmään.
Käytetään jakoyhtälöä toistuvasti. Otetaan edellinen osamäärä jaettavaksi, kunnes osamäärä 0. Luetaan vastaukseksi jakojäännökset lopusta alkuun.
145 = 29 * 5 + 0
29 = 5 * 5 + 4
5 = 1 * 5 + 0
1 = 0 * 5 + 1

1040₅

HUOM! Jokainen kokonaisluku on joko parillinen (2n) tai pariton (2n + 1); tässä siis n = 2.

ESIM. Olkoon jakaja 5. Tällöin jokainen kokonaisluku on jotain seuraavaa muotoa:  (jakoyhtälön a = q * n + r mukaisesti, n = 5)

r = 0:             q * 5 + 0 = 5q
r = 1:             q * 5 + 1 = 5q + 1
r = 2:             q * 5 + 2 = 5q + 2
r = 3:             q * 5 + 3 = 5q + 3
r = 4:             q * 5 + 4 = 5q + 4

Toisin sanoen: Kun luku jaetaan 5:llä, jakojäännös on 0, 1, 2, 3 tai 4.