Kuinka paljon on [[$p$]] prosenttia luvusta [[$a$]]?

Esimerkiksi 30 prosenttia luvusta 200 on 0,3 [[$\cdot$]] 200 [[$ = $]] 60. Asia voidaan ajatella prosentin määritelmän kautta: 30 sataa kohti, eli 60 kahta sataa kohti.

Yleisesti [[$p$]] prosenttia luvusta [[$a$]] on [[$\dfrac{p}{100}$]] kerrottuna luvulla [[$a$]].

Kuinka monta prosenttia luku [[$a$]] on luvusta [[$b$]]?

Esimerkiksi luvun 100 prosentuaalinen osuus luvusta 300 on
[[$\dfrac{100}{300}= \text{0,333}...\approx 33\,\%.$]]

Yleisesti ongelma "Kuinka monta prosenttia [[$a$]] on luvusta [[$b$]]" lasketaan jakamalla [[$a$]] luvulla [[$b$]] ja muuttamalla tulos prosenteiksi.

Mikä luku saadaan, kun luku [[$a$]] muuttuu [[$p$]] prosenttia?

Kun esimerkiksi luku 10 kasvaa 40 prosenttia, lisätään alkuperäiseen lukuun 40 prosenttia aiemmasta luvusta. Lausekkeena tämä tarkoittaa [[$10+\dfrac{40}{100}\cdot 10=14$]]

Huomaa: +40 %, muutoskerroin on 1,4 (Koska 1 [[$+$]] 0,40 [[$=$]] 1,4) ja 1,4 [[$ \cdot$]] 10 [[$=$]] 14.

Muutoskerroin muodostuu, kun lukuun 10 (joka on 100 % luvusta 10) lisätään 40 % luvusta 10, jolloin kysytty luku on 140 % alkuperäisestä luvusta 10.
100 % [[$+ $]] 40 % [[$= $]] 140 % [[$= $]] 1,4

Vastaavasti luvun 10 vähentyessä 40 prosenttia, luvusta 10 vähennetään 40 prosenttia alkuperäisestä luvusta 10. Vastaukseksi saadaan [[$10-\dfrac{40}{100}\cdot 10=6$]].

Huomaa: –40%, muutoskerroin on 0,6 (Koska 1 – 0,40 [[$=$]] 0,6) ja 0,6 [[$\cdot$]] 10 [[$=$]] 6

Muutoskerroin muodostuu, kun luvusta 10 (joka on 100 % luvusta 10) otetaan pois 40 % luvusta 10, jolloin kysytty luku on 100 % – 40 % alkuperäisestä luvusta 10.
100 % [[$ -$]] 40 % [[$ =$]] 60 % [[$=$]] 0,6

Aina kun luku kasvaa, kertoimen on oltava suurempi kuin yksi ja vastaavasti kun luku pienenee, kertoimen on oltava itseisarvoltaan pienempi kuin yksi.

Yleisesti [[$p$]] prosenttia lukua [[$a$]] suurempi luku on [[$$a+\left(\dfrac{p}{100}\right) a=\left(1+\dfrac{p}{100}\right) a$$]] ja [[$p$]] prosenttia lukua [[$a$]] pienempi luku on [[$$a-\left(\dfrac{p}{100}\right) a=\left(1-\dfrac{p}{100}\right) a.$$]]

Kaikissa edellisissä oletettiin, että [[$a>0$]], [[$b>0$]] ja [[$p\geq 0$]].

Muutoskertoimen laskeminen korotuksiin ja alennuksiin

• Jos luku kasvaa 30 %, se kerrotaan muutoskertoimella 1,3. (Kerroin on 1 [[$+ \frac{30}{100}$]])
• Jos luku pienenee 15 %, se kerrotaan muutoskertoimella 0,85. (Kerroin on 1 [[$– \frac{15}{100}$]])
• Jos luku kasvaa 100 %, se kerrotaan muutoskertoimella 2. (Kerroin on 1 [[$+ \frac{100}{100}$]])
• Jos luku pienenee 50 %, se kerrotaan muutoskertoimella 0,5 (Kerroin on 1 [[$– \frac{50}{100}$]])

Kuinka monta prosenttia luku [[$a$]] on suurempi / pienempi kuin [[$b$]]?

Kun halutaan esimerkiksi tietää, kuinka paljon 110 on suurempi kuin 100, lasketaan erotuksen suuruus verrattuna arvoon 100. "Kuin"-sana viittaa verrattavaan arvoon (= perusarvoon). Vastaukseksi saadaan
[[$\dfrac{110-100}{100}=\dfrac{10}{100}=\text{0,1}=10\,\%.$]]

Tapa 2: Prosenttiero muutoskertoimen avulla

Lukujen suhteesta [[$\dfrac{a}{b}$]] saadaan muutoskerroin, jolla luku [[$a$]] on kerrottava, jotta saadaan [[$b$]]. Kysytty prosenttiero saadaan, kun vähennetään muutoskertoimesta 100 %.

Kuinka monta prosenttia 30 on suurempi kuin 25?
Muutoskertoimeksi saadaan [[$\frac{30}{25}=\text{1,2}$]].
Koska 1,2[[$-$]]100 % [[$=$]] 1,2 [[$-$]]1 [[$=$]] 0,2 [[$=$]] 20 %, niin luku 30 on 20 % suurempi kuin luku 25.

Kuinka monta prosenttia 25 on pienempi kuin 30?
Muutoskertoimeksi saadaan [[$\frac{25}{30}=\text{0,833}...$]].
Koska 0,833...[[$-$]]100 % [[$=$]] 0,833[[$...-$]]1 [[$=-$]]0,166 [[$...\approx -$]] 17 %, niin muutos on ollut –17 %,
joten luku 25 on noin 17% pienempi kuin luku 30.

Mistä luvusta [[$p$]] prosenttia on [[$a$]]?

Esimerkiksi, jos tuotteen verollinen hinta on 47,00 € ja hintaan sisältyy 24 % arvonlisävero, niin alkuperäinen veroton hinta saadaan laskettua ajattelemalla, että verollinen hinta on saatu korottamalla verotonta hintaa 24 prosenttia.
1,24 [[$\cdot x = $]] 47,00 €, josta verottomaksi hinnaksi saadaan [[$ \frac{\text{47,00 €}}{\text{1,24}}=$]] 37,90 €.