Ratkaisut
Monivalintojen vastaukset
[[$ \begin{aligned} \dfrac{1}{R_\text{kok}}=\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R} \\[6pt] \dfrac{1}{R_\text{kok}}=\dfrac{3}{R} \\[6pt] R_\text{kok}=\dfrac{R}{3} \end{aligned} $]]
Kytkennässä B on kytketty kaksi vastusta sarjaan. Kaksi vastusta on kytketty rinnan yhden vastuksen kanssa. Lasketaan kytkennän kokonaisresistanssi.
[[$ \begin{aligned} \dfrac{1}{R_\text{kok}}=\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{R} \\[6pt] \dfrac{1}{R_\text{kok}}=\dfrac{1}{2R}+\dfrac{2}{2R} \\[6pt] \dfrac{1}{R_\text{kok}}=\dfrac{3}{2R} \\[6pt] R_\text{kok}=\dfrac{2}{3}R \end{aligned} $]]
Kytkennässä C on yksi vastus kytketty sarjaan kahden rinnankytketyn vastuksen kanssa. Lasketaan kahden rinnankytketyn vastuksen resistanssi.
[[$ \begin{aligned} \dfrac{1}{R_1}&=\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R} \\[6pt] \dfrac{1}{R_1}&=\dfrac{2}{R} \\[6pt] R_1&=\dfrac{R}{2} \end{aligned} $]]
Lasketaan kytkennän kokonaisresistanssi.
[[$ \begin{aligned} R_\text{kok}&=R+\dfrac{R}{2} \\[6pt] R_\text{kok}&=\dfrac{2R}{2}+\dfrac{R}{2} \\[6pt] R_\text{kok}&=\dfrac{3R}{2} \end{aligned} $]]
Kytkennässä D on kolme vastusta kytketty sarjaan. Lasketaan kytkennän kokonaisresistanssi.
[[$ R_\text{kok}=R+R+R=3R $]]
Huomataan, että kytkentöjen resistanssit suurimmasta pienimpään ovat D, C, B, A
Ilman täsmällisiä laskujakin voi päätellä, että D:n kokonaisresistanssi on huomattavasti suurempi kuin R, C:n hieman suurempi kuin R, B:n hieman pienempi kuin R ja A:n huomattavasti pienempi kuin R. Päätelmä perustuu siihen, että rinnankytkentä pienentää resistanssia ja sarjaankytkentä kasvattaa.
1.2. Suurin sähkövirta kulkee siitä virtapiirin haarasta, jossa on pienin kokonaisresistanssi. Pienin kokonaisresistanssi on haarassa, jossa on kaksi rinnankytkettyä vastusta sarjassa yhden vastuksen kanssa eli haarassa jossa ovat vastukset E, C ja D.
Vastuksen E kautta kulkee suurin sähkövirta, koska vastuksen E kautta kulkeva sähkövirta jakaantuu kahdeksi yhtä suureksi sähkövirraksi, jotka kulkevat vastusten C ja D kautta.
1.3. Vastuksen jännite on Ohmin lain nojalla suuruudeltaan [[$U=RI$]]. Tässä [[$I$]] on kytkennän kokonaissähkövirta. Sähkövirta on suurin kytkennässä C, sillä siinä on eniten rinnankytkettyjä vastuksia ja pienin kokonaisresistanssi.
1.4. Laturin napajännitteen pitää olla suurempi kuin akun, jotta virta kulkisi lataussuuntaan eli myötäpäivään.
Takaisin Tehtävän 2 ratkaisu
Kuvan kytkentäkaaviossa pariston lähdejännite on [[$E=\text{8,0 V}$]]. Pariston sisäinen resistanssi on hyvin pieni. Vastusten resistanssit ovat [[$R_1=12 \ \Omega$]], [[$R_2=\text{6,0 } \Omega$]] ja [[$R_3=\text{4,0 } \Omega$]]. Määritä sähkövirrat virtapiirin eri haaroissa. (5 p.)
Ratkaisu
Sähkövirta kulkee piirissä myötäpäivään haarautuen rinnankytkennän kohdalla. Määritetään kokonaisresistanssi ja sen avulla piirin kokonaisvirta (paristosta lähtevä virta, joka kulkee kokonaisuudessaan vastuksen [[$R_1$]] läpi).
Virrat hahmotettu oikein (vastuksen [[$R_1$]] läpi kulkeva virta jakautuu jollain tapaa kulkemaan kahden muun vastuksen läpi), 1 p.
[[$R_2$]] ja [[$R_3$]] on kytketty rinnan. Niiden kokonaisresistanssi on
[[$R_{23}=\left(\dfrac{1}{R_2}\right)^{-1}=\left(\dfrac{1}{\text{6,0 } \Omega}+\dfrac{1}{\text{4,0 } \Omega}\right)^{-1}$]]
Lisätään tähän sarjaankytketyn vastuksen resistanssi [[$R_1$]], niin saadaan piirin kokonaisresistanssi.
[[$R_\text{KOK}=\left(\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}\right)^{-1}+R_1=\left(\dfrac{1}{\text{6,0 } \Omega}+\dfrac{1}{\text{4,0 } \Omega}\right)^{-1}+12 \ \Omega=\text{14,4 } \Omega$]]
Kokonaisresistanssi oikein, 1 p.
Paristosta lähtevä sähkövirta lasketaan Ohmin lain perusteella.
[[$I=\dfrac{U}{R_\text{KOK}}=\dfrac{\text{8,0 V}}{\text{14,4 } \Omega}=\text{0,55555}\dots\text{ A}$]]
Kokonaisvirta oikein, 1 p.
Koko virta kulkee siis vastuksen [[$R_1$]] kautta. Haarautuvien sähkövirtojen määrittämiseksi lasketaan jännite rinnankytketyissä vastuksissa [[$R_2$]] ja [[$R_3$]]. Jännite saadaan vähentämällä pariston jännitteestä vastuksen [[$R_1$]] napajännite.
[[$U_2=U_3=U-R_1I=\text{8,0 V}-12 \ \Omega \cdot \text{0,5556 A}=\text{1,3328 V}$]]
Jännite oikein, 1 p.
Sähkövirrat rinnankytkennän haaroissa saadaan Ohmin lain nojalla.
[[$I_2=\dfrac{U_2}{R_2}=\dfrac{\text{1,33 V}}{\text{6,0 } \Omega}=\text{0,221}\dots\text{ A}\approx \text{0,22 A}$]]
[[$I_3=\dfrac{U_3}{R_3}=\dfrac{\text{1,33 V}}{\text{4,0 } \Omega}=\text{0,3325 A}\approx \text{0,33 A}$]]
Virrat oikein, 1 p.
Tulosten tarkistuksena voidaan todeta, että sähkövirrat noudattavat Kirchhoffin I lakia: [[$I_1=I_2+I_3$]].
Piirin kokonaisvirta on 0,55 ampeeria. Tästä 0,22 ampeeria kulkee vastuksen [[$R_2$]] läpi ja 0,33 ampeeria vastuksen [[$R_3$]] läpi.