Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle ammatillisten ja korkeakouluopintojen edellyttämät matemaattiset valmiudet sekä matemaattinen yleissivistys. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa.

 

 

Opetuksen tavoitteet

 

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija

• saa myönteisiä oppimiskokemuksia ja tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn sekä oppii niiden kautta luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa

• rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin

• ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä

• oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena

• kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan

• harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä

• harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita

• osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä.

 

Pakolliset kurssit 2 - 10

Pakolliset kurssit suoritetaan numerojärjestyksessä.

2. Polynomifunktiot ja -yhtälöt (MAA2)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita

• osaa ratkaista toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkia ratkaisujen lukumäärää

• osaa ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua

• osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyhtälöihin ja polynomiepäyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

 

Keskeiset sisällöt

• polynomien tulo ja muotoa olevat binomikaavat

• 2. asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen

• 2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin

• polynomifunktio

• polynomiyhtälöitä

• polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

 

 

3. Geometria (MAA3)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa

• harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita

• osaa ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa ja geometriaan liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

 

Keskeiset sisällöt

• kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus

• sini- ja kosinilause

• ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria

• kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

 

4. Vektorit (MAA4)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin

• osaa tutkia kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla

• ymmärtää yhtälöryhmän ratkaisemisen periaatteen

• osaa tutkia kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä vektoreiden tutkimisessa sekä suoriin ja tasoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.

 

Keskeiset sisällöt

• vektoreiden perusominaisuudet

• vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla

• koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo

• yhtälöryhmän ratkaiseminen

• suorat ja tasot avaruudessa

 

 

5. Analyyttinen geometria (MAA5)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille

• ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja

• syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia yksinkertaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä
  | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä pistejoukon yhtälön tutkimisessa sekä yhtälöiden, yhtälöryhmien, itseisarvoyhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusongelmissa.

 

Keskeiset sisällöt

• pistejoukon yhtälö

• suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt

• itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen

• pisteen etäisyys suorasta

 

 

6. Derivaatta (MAA6)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä

• omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta

• osaa määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat

• osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot

• tietää, kuinka rationaalifunktion suurin ja pienin arvo määritetään

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa ja rationaaliyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisemisessa sekä polynomi- ja rationaalifunktion derivaatan määrittämisessä sovellusongelmissa.

 

Keskeiset sisällöt

• rationaaliyhtälö ja ‑epäyhtälö

• funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta

• polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen

• polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

 

 

7. Trigonometriset funktiot (MAA7)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• tutkii trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla

• osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä
  sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)

• osaa trigonometristen funktioiden yhteydet ja

• osaa derivoida yhdistettyjä funktioita

• osaa tutkia trigonometrisia funktioita derivaatan avulla

• osaa hyödyntää trigonometrisia funktioita mallintaessaan jaksollisia ilmiöitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä trigonometristen funktioiden tutkimisessa ja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen funktioiden derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

 

Keskeiset sisällöt

• suunnattu kulma ja radiaani

• trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen

• trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

• yhdistetyn funktion derivaatta

• trigonometristen funktioiden derivaatat

 

 

8. Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• kertaa potenssienlaskusäännöt mukaan lukien murtopotenssit

• tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä

• osaa tutkia juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla

• osaa hyödyntää eksponenttifunktiota mallintaessaan erilaisia kasvamisen ja vähenemisen ilmiöitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden tutkimisessa ja juuri-, eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa sekä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktion derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.

 

Keskeiset sisällöt

• potenssien laskusäännöt

• juurifunktiot ja -yhtälöt

• eksponenttifunktiot ja -yhtälöt

• logaritmifunktiot ja -yhtälöt

• juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat

 

 

9. Integraalilaskenta (MAA9)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita

• ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan

• osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla

• perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja integraalifunktion määrittämisessä sekä määrätyn integraalin laskemisessa sovellusongelmissa.

 

Keskeiset sisällöt

• integraalifunktio

• alkeisfunktioiden integraalifunktiot

• määrätty integraali

• pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

 

 

10. Todennäköisyys ja tilastot (MAA10)

 

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa havainnollistaa diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia sekä määrittää ja tulkita jakaumien tunnuslukuja

• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin

• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin

• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä

• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.

 

Keskeiset sisällöt

• diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma

• jakauman tunnusluvut

• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys

• kombinatoriikka

• todennäköisyyksien laskusäännöt

• diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma

• diskreetin jakauman odotusarvo

• normaalijakauma

Valtakunnalliset syventävät kurssit 11 - 13

11. Lukuteoria ja todistaminen (MAA11)
Vaatii esitietoina pakollisen kurssin 1.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• perehtyy logiikan alkeisiin ja tutustuu todistusperiaatteisiin sekä harjoittelee todistamista

• hallitsee lukuteorian peruskäsitteet ja perehtyy alkulukujen ominaisuuksiin

• osaa tutkia kokonaislukujen jaollisuutta jakoyhtälön ja kokonaislukujen kongruenssin avulla

• syventää ymmärrystään lukujonoista ja niiden summista

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä lukujen ominaisuuksien tutkimisessa.

 

Keskeiset sisällöt

• konnektiivit ja totuusarvot

• geometrinen todistaminen

• suora, käänteinen ja ristiriitatodistus

• induktiotodistus

• kokonaislukujen jaollisuus ja jakoyhtälö

• Eukleideen algoritmi

• alkuluvut ja Eratostheneen seula

• aritmetiikan peruslause

• kokonaislukujen kongruenssi

 

12. Algoritmit matematiikassa (MAA12)
Vaatii esitietoina pakolliset kurssit 1 - 10.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• syventää algoritmista ajatteluaan

• osaa tutkia ja selittää, kuinka algoritmit toimivat

• ymmärtää iteroinnin käsitteen ja oppii ratkaisemaan epälineaarisia yhtälöitä numeerisesti

• osaa tutkia polynomien jaollisuutta ja osaa määrittää polynomin tekijät

• osaa määrittää numeerisesti muutosnopeutta ja pinta-alaa

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä algoritmien tutkimisessa ja laskutoimituksissa.

 

Keskeiset sisällöt

• iterointi ja Newton-Raphsonin menetelmä

• polynomien jakoalgoritmi

• polynomien jakoyhtälö

• Newton-Cotes-kaavat: suorakaidesääntö, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin sääntö

 

13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi (MAA13)
Vaatii esitietoina pakolliset kurssit 1 - 10.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan

• osaa tutkia aidosti monotonisten funktioiden käänteisfunktioita

• täydentää integraalilaskennan taitojaan ja soveltaa niitä muun muassa jatkuvien todennäköisyysjakaumien tutkimiseen

• osaa tutkia lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja derivaatan laskemisessa annetun muuttujan suhteen sekä epäoleellisten integraalien, lukujonon raja-arvon ja sarjan summan laskemisessa sovellustehtävissä.

Keskeiset sisällöt

• funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen

• jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia

• käänteisfunktio

• kahden muuttujan funktio ja osittaisderivaatta

• funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä

• epäoleelliset integraalit

• lukujonon raja-arvo, sarjat ja niiden summa

Koulukohtaiset syventävät kurssit 14 - 17

Kertauskurssi (MAA14)
Vaatii esitietoina pakolliset kurssit 1 - 10.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• valmistautuu ylioppilaskokeeseen kertaamalla oppimäärän tärkeimmät asiat

Keskeiset sisällöt

• pakollisten kurssien oppimäärä

15. Lineaarialgebran kurssi (MAA15)
Vaatii esitietoina pakolliset kurssit 1 - 5.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• oppii matriisilaskennan alkeet

• syventää käsitystään vektorilaskennasta ja analyyttisestä geometriasta

Keskeiset sisällöt

• matriisien laskutoimitukset

• matriisilaskennan soveltaminen lineaarisiin yhtälöryhmiin

• vektoriavaruus ja vektoriavaruuden aliavaruus

• lineaariset kuvaukset

16. Matemaattisen fysiikan kurssi (MAA16)
Vaatii esitietoina kurssien MAA4, MAA6 - MAA9 erinomaista hallintaa.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• oppii mallintamaan mekaniikan ongelmia differentiaali- ja vektorilaskennan keinoin

Keskeiset sisällöt

• differentiaaliyhtälö

• mekaniikan peruskäsitteitä

17. Matemaattisen analyysin perusteet (MAA17)
Vaatii esitietoina kurssien MAA6 ja MAA11 erinomaista hallintaa.

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• ymmärtää matematiikan aksiomaattisen luonteen

• oppii todistamaan matemaattisessa analyysissä esiin tulevia väittämiä käsitteiden tarkkoihin määritelmiin, logiikkaan sekä reaalilukujen aksioomiin tukeutuen.

Keskeiset sisällöt

• reaalilukujen aksiomaattinen esitys

• lukujonon ja funktion raja-arvon tarkka määritelmä

• jatkuvan funktion keskeisten ominaisuuksien tarkka todistaminen.

Koulukohtainen soveltava kurssi

18. Matematiikan tukikurssi (MAA18)

Kurssilla kerrataan ja harjoitellaan matematiikan perustaitoja MAY1- kurssin jälkeen. Pyrkimyksenä on luoda pohjaa tulevia matematiikan kursseja varten. Kurssin keskeisiä aiheita ovat peruslaskutoimitukset, potenssit, murtoluvut, lausekkeiden käsittely, yhtälöt sekä prosenttilaskennan perusteet.