MAA8+MAA9 - Tilastot, todennäköisyys ja talous (3 op)

Tavoitteet

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija
MAA8 Tilastot ja todennäköisyys

  • osaa havainnollistaa diskreettiä tilastollista jakaumaa sekä määrittää ja tulkita jakauman tunnuslukuja
  • osaa havainnollistaa kahden muuttujan yhteisjakaumaa sekä määrittää korrelaatiokertoimen ja regressiokäyrän
  • perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
  • perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja laskusääntöihin
  • ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja tulkitsemaan sitä
  • osaa käyttää ohjelmistoja digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä tilastollisen tiedon esittämisessä
  • osaa hyödyntää ohjelmistoja jakaumien havainnollistamisessa, tunnuslukujen määrittämisessä sekä todennäköisyyksien laskemisessa.
MAA9 Talousmatematiikka
  • oppii hyödyntämään matemaattisia valmiuksiaan resurssien riittävyyteen,talouden suunnitteluun, yrittäjyyteen ja kannattavuuden laskentaan
  • soveltaa lukujonojen kaavoja talouteen liittyvissä matemaattisissa ongelmissa
  • oppii sovittamaan taloudellisiin tilanteisiin matemaattisia malleja ja ymmärtääniiden rajoitukset
  • osaa hyödyntää ohjelmistoja laskelmien tekemisessä ja sovellusten yhteydessä

Ohjelmistotaidot 

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

  • harjaantuu taulukkolaskentaohjelman sujuvaan käyttöön, mm. soluviittaukset, lajittelu/järjestäminen ja suodatus (eli oleellisen informaation erottaminen) 
  • harjaantuu tilastollisen aineiston sujuvaan käsittelyyn: oppii tiivistämään tietoa taulukoimalla ja määrittämällä tunnuslukuja sekä havainnollistamaan tilastoja erilaisilla kaavioilla 
  • oppii piirtämään hajontakuvion, sovittamaan regressiosuoran sekä määrittämään korrelaatiokertoimen 
  • oppii laskemaan permutaatioita ja kombinaatioita 
  • oppii piirtämään binomijakauman kuvaajan, määrittämään jakauman tunnusluvut sekä määrittämään todennäköisyyksiä ja ratkaisemaan käänteisen tilanteen 
  • tutustuu ajankohtaisen tilastotiedon etsimiseen ja lataamiseen eri verkkolähteistä sekä tiedon käsittelyyn, kuvaamiseen ja analysoimiseen.
  • osaa hyödyntää symbolista laskentaa talousmatematiikan laskuissa ja yhtälönratkaisussa (esim. annuiteettilainan yhteydessä)
  • harjaantuu käsittelemään lukujonoja: esim. tallentamaan lukujonon funktiona f(n), laskemaan lukujonon jäseniä ja ratkaisemaan yhtälöitä
  • oppii tekemään lainalaskelmia (esim. taulukkolaskentaohjelmassa)
  • tutustuu esim. verkosta löytyvien laskureiden (esim. hiilijalanjälki) laskentaperiaatteisiin.

Keskeiset sisällöt

Keskeiset sisällöt
MAA8

  • keskiluvut ja keskihajonta
  • korrelaatio ja lineaarinen regressio
  • klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
  • permutaatiot ja kombinaatiot
  • todennäköisyyden laskusäännöt
  • binomijakauma
  • diskreetti todennäköisyysjakauma
  • diskreetin jakauman odotusarvo
MAA9
  • aritmeettinen ja geometrinen lukujono ja niiden summat
  • korkolaskut: koronkorko, nykyarvo ja diskonttaus
  • talletukset ja lainat
  • taloudellisiin tilanteisiin soveltuvia matemaattisia malleja, joissa hyödynnetään lukujonoja ja summia

Tarkennuksia sisältöihin 
MAA8

  • Tilastot: Perusjoukko ja otos. Tarkastelu voidaan rajata diskreetteihin tilastollisiin muuttujiin. Frekvenssitaulukot ja tilastollinen todennäköisyys. Tilastolliset tunnusluvut: vaihteluväli, keskiluvut (moodi, mediaani, keskiarvo) ja keskihajonta (otoskeskihajonta). Tunnuslukujen laskentaperiaatteen ymmärtäminen. Tilastolliset kuvaajat kuten ympyrädiagrammi, pylväs- ja palkkikuvaaja sekä summafrekvenssi-kuvaaja (viivakaavio). 
  • Kahden muuttujan yhteisjakauma: Selittävä ja selitettävä muuttuja, hajontakuvio, lineaarisen riippuvuuden havainnoiminen hajontakuviosta. Regressiosuora ja korrelaatiokerroin. Regressiomallin avulla tehdyt ennusteet.
  • Todennäköisyys: Klassinen todennäköisyys ja alkeistapausten laskemismenetelmiä (tuloperiaate, permutaatiot ja kombinaatiot). Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö ja yleinen kertolaskusääntö. Erillisten tapahtumien yhteenlaskusääntö ja yleinen yhteenlaskusääntö. Komplementtisääntö. Venn-diagrammin hyödyntäminen laskusääntöjen havainnollistamisessa. Toistokoe ja binomitodennäköisyys.
  • Diskreetti todennäköisyysjakauma: Satunnaismuuttuja ja pistetodennäköisyys. Jakauman odotusarvo ja sen tulkinta. Toistokoe, binomijakauma ja sen odotusarvo.
MAA9
  • Lukujonot. Lukujonojen ja summien perusteet on opiskeltu moduulissa MAB2. Tässä moduulissa tarkastelu painottuu lukujonojen sovelluksiin. Sovelluksina tarkastellaan esim. peräkkäisiä sijoituksia (kuten talletuksia) ja sijoitusten kokonaisarvoa. Talouden sovellusten lisäksi voidaan tarkastella esim. ekologisten resurssien riittävyyttä kuten luonnonvarojen riittävyyslaskelmia (esim. fossiilisten polttoaineiden kuten öljyn, ruuan ja puhtaan veden riittävyys
  • Korkolaskenta. Koronkorkolaskussa tutustutaan yleisiin käytäntöihin korkoaikojen laskemisessa, tulosten pyöristämisessä jne. Koronkorko- ja diskonttausmenetelmä: kasvanut pääoma, eriaikaisten maksujen nykyarvo.
  • Lainat. Peruskäsitteet (lainapääoma, lyhennys, takaisinmaksuerä jne.). Eri lainamuodot (asuntolaina, opintolaina, kulutusluotto, pikavippi) ja takaisinmaksu-periaatteet (tasalyhennyslaina, tasaerä- eli annuiteettilaina ja kiinteä tasaerälaina) sekä lainan hoito (lyhennysten, korkojen ja jäljellä olevan lainan määrän laskeminen eri lainamuodoissa, ja eri lainamuotojen vertailu).

Laaja-alaisen osaamisen tavoitteet

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen.

Ehdotuksia työskentelytavoista

Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä.

Opintojakson arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla voidaan myös ohjata opiskelijoita itse- ja vertaisarvioinnin sekä arviointikeskusteluiden pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista, testeistä tai oppimistehtävistä saaduista arvosanoista. Laaja-alaisen osaamisen osa-alueita arvioidaan formatiivisesti opintojakson aikana tukien opiskelijan oppimista.


Opintojakson arviointi perustuu monipuoliseen näyttöön ja arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Arviointi ohjaa opiskelijaa arvioimaan omaa osaamistaan sekä kehittämään matematiikan osaamistaan ja ymmärtämistään ja pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan.


Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.