MAA6 - DERIVAATTA (3 op)

Tavoitteet

Yleiset tavoitteet

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija

  • tutustuu ilmiöiden matemaattisten mallien käyttäytymiseen derivaatan avulla
  • omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta ja jatkuvuudesta
  • ymmärtää derivaatan tulkinnan funktion muutosnopeutena
  • kykenee määrittämään yksinkertaisten funktioiden derivaatat
  • osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
  • hallitsee funktioiden kulun tutkimisen derivaatan avulla ja osaa määrittää niiden ääriarvot suljetulla välillä
  • osaa käyttää ohjelmistoja raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa sovellusten yhteydessä.

Ohjelmistotaidot 

Opintojakson tavoitteena on, että opiskelija 

  • harjaantuu sujuvaan lausekkeiden käsittelyyn (sieventämiseen ja arvojen laskemiseen) mm. erotusosamäärän lausekkeen käsittelyssä 
  • oppii tutkimaan raja-arvoa esim. taulukoimalla tai kuvaajan avulla 
  • oppii määrittämään raja-arvoja 
  • oppii piirtämään funktion kuvaajalle sekantin ja tangentin (dynaamisesti), määrittämään kulmakertoimen (graafinen derivointi) 
  • osaa havainnoida derivaatan merkkiä ja funktion kasvavuutta (sekä funktion että derivaattafunktion) kuvaajasta 
  • oppii derivoimaan funktion, laskemaan derivaatan arvon ja määrittämään derivaatan nollakohdan symbolisesti 
  • rohkaistuu ohjelmiston hyödyntämiseen funktion derivoimisessa, yhtälönratkaisussa ja arvojen laskemisessa sovellustehtävissä.

Keskeiset sisällöt

Keskeiset sisällöt

  • funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
  • polynomi- ja rationaalifunktioiden sekä juurifunktion derivaatat
  • sini- ja kosinifunktioiden sekä eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat • funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
  • funktioiden tulon ja osamäärän derivaatta
  • yhdistetty funktio ja sen derivointi
  • funktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

Tarkennuksia sisältöihin 

  • Raja-arvo ja jatkuvuus: Raja-arvon laskeminen ja jatkuvuustarkastelut tilanteissa, joissa toispuoleisia raja-arvoja ei tarvita (esim. rationaalifunktion raja-arvo ja paloittain jatkuvaksi funktioksi täydentäminen). Jatkuvuus kohdassa x = a ja välillä ]a, b[.
  • Derivaatta: Funktion keskimääräinen muutosnopeus ja hetkellinen muutosnopeus, erotusosamäärä ja funktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona. Derivaattafunktio. Aikaisemmissa moduuleissa kohdattujen alkeisfunktioiden derivoiminen (mukaan lukien ketjusääntö yksinkertaisissa tilanteissa). Käyrän tangentti ja normaali. Neperin luku ja luonnollinen logaritmi.
  • Funktion kulku: Kasvavan ja vähenevän funktion määritelmät. Funktion kulun (kasvavuus/vähenevyys/monotonisuus) tutkiminen sekä lokaalien ääriarvojen määrittäminen derivaatan nollakohtien ja merkin avulla (derivaatan merkki voidaan selvittää kuvaajatyypin tai testipisteiden avulla). Rationaalifunktion derivaatan merkkitarkastelu voidaan tehdä nollakohdilla, määrittelyehdolla ja testipisteillä (rationaalifunktio voi vaihtaa merkkiään vain nollakohdassa tai kohdassa, jossa sitä ei ole määritelty). Yhtälön juurten olemassaolo ja yksikäsitteisyys (Bolzanon lause). Suljetulla välillä jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvon määrittäminen.
  • Ääriarvosovellukset: Tilannetta kuvaavan funktion muodostaminen ja määrittelyehto. Ääriarvokohtien ratkaiseminen derivaatan nollakohdista laskennallisesti. Suurimman/pienimmän arvon määrittäminen suljetulla välillä tai funktion kulkuun vedoten: funktion kasvavuuden/vähenevyyden voi havainnoida kuvaajasta. (Avaruuskappaleisiin liittyvät ääriarvosovellukset käsitellään moduulissa MAA10. Paloittain määritelty funktio sekä raja-arvot äärettömyydessä käsitellään moduulissa MAA12.)

Laaja-alaisen osaamisen tavoitteet

Laaja-alaisen osaamisen osa-alueista opintojaksolla painottuu yhteiskunnallinen osaaminen. Tämä voi näkyä opintojaksolla esimerkiksi niin, että opetus tukee opiskelijan yritteliäisyyttä ja yrittäjämäistä toimintaa sekä opettaa työn loppuunsaattamisen merkityksen.

Ehdotuksia työskentelytavoista

Opintojaksossa käytetään monipuolisia ja vaihtelevia työtapoja, joissa opiskelijat työskentelevät yksin ja yhdessä. Tällä vahvistetaan muun muassa vuorovaikutusosaamista. Työtapoina voidaan käyttää esimerkiksi ryhmätöitä, parityöskentelyä.

Opintojakson arviointi

Opintojaksolla toteutetaan monipuolisesti sekä formatiivista että summatiivista arviointia, painottaen opintojakson keskeisiä tavoitteita ja sisältöjä. Formatiivinen arviointi on lähinnä opiskelijaa opinnoissa eteenpäin auttavaa, ei dokumentoitavaa palautetta. Opintojaksolla voidaan myös ohjata opiskelijoita itse- ja vertaisarvioinnin sekä arviointikeskusteluiden pariin. Summatiivinen arviointi koostuu esimerkiksi opiskelijan tuotoksista ja/tai tavoitteiden mukaista osaamista mittaavista kokeista, testeistä tai oppimistehtävistä saaduista arvosanoista. Laaja-alaisen osaamisen osa-alueita arvioidaan formatiivisesti opintojakson aikana tukien opiskelijan oppimista.


Opintojakson arviointi perustuu monipuoliseen näyttöön ja arvioinnilla tuetaan opiskelijan matemaattisen ajattelun ja itseluottamuksen kehittymistä sekä ylläpidetään ja vahvistetaan opiskelumotivaatiota. Arviointi ohjaa opiskelijaa arvioimaan omaa osaamistaan sekä kehittämään matematiikan osaamistaan ja ymmärtämistään ja pitkäjänteisen työskentelyn taitojaan.


Opintojakso arvioidaan numeerisesti asteikolla 4-10.