3.2. Normaalijakauma
Teknisten apuvälineiden käyttö
Esityksessä Normaalijakauma.pptx neuvotaan Geogebran todennäköisyyslaskurin käyttö.
Normaalijakauma
Esimerkki. Ihmisten pituudet noudattavat normaalijakaumaa. Vuoden 2010 tutkimuksen mukaan miesten keskipituus oli 181 cm keskihajonnalla 6 cm ja naisten keskimääräinen pituus 167 cm keskihajonnalla 5 cm. Jos satunnaismuuttuja [[$ X $]] kuvaa naisen pituutta, merkitään tällöin
[[$ X \sim N(167, 5) $]]
Selvitetään millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun naisen pituus poikkeaa merkittävästi keskiarvosta (eli enemmän kuin kaksi kertaa keskihajonnan verran). Syötetään Geogebran todennäköisyyslaskuriin mainitut keskiarvo ja keskihajonta.
Allaosan painikkeista valitaan sopiva vaihtoehto ja syötetään muuttujan X rajat. Tässä tapauksessa alarajana 167+2*5 = 177.
Todennäköisyydeksi sille, että satunnaisesti valitun naisen pituus pituus on vähintään 177, on 0.0228 eli noin 2.3 %.
[[$ P(177 \leq X) =0,0228 $]]
Symmetrisesti todennäköisyys sille, että satunnaisesti valitun naisen pituus pituus olisi korkeintaan 157, on täsmälleen sama 0.0228.
[[$ X \sim N(167, 5) $]]
Selvitetään millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun naisen pituus poikkeaa merkittävästi keskiarvosta (eli enemmän kuin kaksi kertaa keskihajonnan verran). Syötetään Geogebran todennäköisyyslaskuriin mainitut keskiarvo ja keskihajonta.
Allaosan painikkeista valitaan sopiva vaihtoehto ja syötetään muuttujan X rajat. Tässä tapauksessa alarajana 167+2*5 = 177.
Todennäköisyydeksi sille, että satunnaisesti valitun naisen pituus pituus on vähintään 177, on 0.0228 eli noin 2.3 %.
[[$ P(177 \leq X) =0,0228 $]]
Symmetrisesti todennäköisyys sille, että satunnaisesti valitun naisen pituus pituus olisi korkeintaan 157, on täsmälleen sama 0.0228.
Tehtäväsarja 1
180, 181, 182, 195, 183, 170
Standardinormaalijakauma eli normitettu normaalijakauma
Normaalijakaumaa, jonka odotusarvo eli keskiarvo on 0 ja keskihajonta 1, kutsutaan normitetuksi normaalijakaumaksi tai standardinormaalijakaumaksi.
Minkä tahansa normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan arvon voi normittaa, kun tiedetään odotusarvo [[$ \mu $]] ja keskihajonta [[$ \sigma $]].
Esimerkiksi jos naisten pituusjakaumassa odotusarvo [[$ \mu = 167 $]] cm ja keskihajonta [[$ \sigma =5 $]] cm, niin
pituutta 170 vastaisi standardinormaalijakaumassa arvo [[$ \frac{170-167}{5}=0{,}6 $]].
Sanotaan että 0,6 on pituuden 170 normitettu arvo.
Normitettu arvo syntyy, kun luvun 170 poikkeama keskiarvosta (167) suhteutetaan keskihajontaan (5) jakamalla erotus 170-167 keskihajonnalla 5.
Yleisesti normitettu arvo z lasketaan kaavalla [[$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $]] , missä
x on normitettavan muuttujan arvo, odotusarvo on [[$ \mu $]] ja keskihajonta [[$ \sigma $]].
Normitetusta arvosta nähdään nopeasti, kuinka paljon arvo poikkeaa keskiarvosta suhteutettuna keskihajontaan eli "standardipoikkeamaan".
Esimerkiksi normitettu arvo -1 on yhden keskihajonnan verran keskiarvoa pienempi, normitettu arvo 3 olisi taas kolmen keskihajonnan verran keskiarvoa suurempi.
Minkä tahansa normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan arvon voi normittaa, kun tiedetään odotusarvo [[$ \mu $]] ja keskihajonta [[$ \sigma $]].
Esimerkiksi jos naisten pituusjakaumassa odotusarvo [[$ \mu = 167 $]] cm ja keskihajonta [[$ \sigma =5 $]] cm, niin
pituutta 170 vastaisi standardinormaalijakaumassa arvo [[$ \frac{170-167}{5}=0{,}6 $]].
Sanotaan että 0,6 on pituuden 170 normitettu arvo.
Normitettu arvo syntyy, kun luvun 170 poikkeama keskiarvosta (167) suhteutetaan keskihajontaan (5) jakamalla erotus 170-167 keskihajonnalla 5.
Yleisesti normitettu arvo z lasketaan kaavalla [[$ z=\frac{x-\mu}{\sigma} $]] , missä
x on normitettavan muuttujan arvo, odotusarvo on [[$ \mu $]] ja keskihajonta [[$ \sigma $]].
Normitetusta arvosta nähdään nopeasti, kuinka paljon arvo poikkeaa keskiarvosta suhteutettuna keskihajontaan eli "standardipoikkeamaan".
Esimerkiksi normitettu arvo -1 on yhden keskihajonnan verran keskiarvoa pienempi, normitettu arvo 3 olisi taas kolmen keskihajonnan verran keskiarvoa suurempi.
Tehtäväsarja 2
A: 174, 175, 178
B: 176, 179, 194, 199
B: 176, 179, 194, 199