Esimerkin 1 ratkaisu

Laservalon aallonpituus on 632 nm. Valo ohjataan kaksoisrakoon. Varjostimella 2,2 metrin etäisyydellä havaitaan 5. intensiteettimaksimin etäisyydeksi 34 cm päämaksimista.

  1. Kuinka suuri on rakojen välimatka?
  2. Kuinka kaukana päämaksimista on 10. sivumaksimi?

Ratkaisu

a. Jotta voitaisiin ratkaista hilavakio [[$d$]] hilayhtälöstä [[$d\sin\theta=k\lambda$]], on tiedettävä aallonpituuden lisäksi jokin maksimi ja sitä vastaava kulma. Annetuista tiedoista saadaan laskettua 5. maksimin (eli k=5) suuntakulma.

Suuntakulma saadaan trigonometrialla:


[[$ \quad \tan \theta = \dfrac{x}{l} \ \ \Rightarrow \ \ \theta = \arctan \dfrac{x}{l} $]]


[[$ x $]] = 0,34 m ja [[$ l $]] = 2,2 m, joten


[[$ \quad \theta = 8,7852987\dots^\circ\approx 8,7853^\circ $]]


Nyt hilayhtälöstä saadaan


[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ d=\dfrac{k\lambda}{\sin \theta} $]]


Sijoitetaan lukuarvot: [[$k=5$]], [[$ \lambda= 632\cdot 10^{-9} \textrm{ m}$]] ja [[$ \theta = 8,7853^{\circ}$]]. Saadaan


[[$ \quad d=\dfrac{5\cdot 632\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\sin 8,7853^\circ} = 2,0689\dotso\cdot 10^{-5} \textrm{ m}\approx 21 \textrm{ $\mu$m} $]]​

Rakojen välimatka on n. 21 μm.


b. Nyt on ratkaistava hilayhtälöstä kulma käyttäen a-kohdan hilavakiota. Saadaan


[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \sin \theta=\dfrac{k\lambda}{d} \ \ \Rightarrow \ \ \theta = \arcsin\dfrac{k\lambda}{d} $]]


Sijoitetaan lukuarvot: [[$k=10 $]], [[$ \lambda = 632\cdot 10^{-9} \textrm{ m} $]]  ja [[$d=2,069\cdot 10^{-5} \textrm{ m} $]]


[[$ \quad \theta = \arcsin\dfrac{10\cdot 632\cdot 10^{-9}\text{ m}}{2,069\cdot 10^{-5}\text{ m}}=17,78\dots^{\circ}\approx 17,8^\circ $]]



Nyt voidaan laskea trigonometrialla maksimin sijainti varjostimella.


[[$ \quad \tan \theta = \dfrac{y}{l} \ \ \Rightarrow \ \ y=l\cdot \tan \theta $]] ​


Sijoitetaan lukuarvot: [[$ l=2,2 \textrm{ m} $]] ja [[$ \theta = 17,8^{\circ} $]]


[[$ \quad y=2,2\text{ m}\cdot\tan 17,8^{\circ}=0,706\dots \textrm{m}\approx 71 \textrm{ cm} $]]

10. sivumaksimi on n. 71 cm:n päässä päämaksimista. 

Takaisin