Teksti

334

3 omenaa, 4 päärynää, 5 mandariinia

Hedemiä on yhteensä 12 kappaletta

12 hedelmän joukosta voidaan valita 2 hedelmää

$\binom{12}{2}=66$ eri tavalla

$P\left(ainakin\ 1\ omena\right)=1-P\left(ei\ yhtään\ omenaa\right)=1-\frac{\binom{9}{2}}{66}=1-\frac{36}{66}=\frac{5}{11}\approx0{,}45$

$P\left(molemmat\ samaa\ lajia\right)=P\left(2\ omenaa\ tai\ 2\ päärynää\ tai\ 2\ mandariinia\right)$

$=\frac{\left(\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}\right)}{66}=\frac{19}{66}\approx0{,}29$

321

$\frac{7!}{\left(7-3\right)!}=210$

$\binom{7}{3}=35$

322

32 korttia

1. 5 korttia

$\binom{32}{5}=201\ 376$

2. 5 korttia

$\binom{32-5}{5}=\binom{27}{5}=80\ 730$

325

10 poikaa

16 tyttöä

$P\left(poika\ ja\ tyttö\ pari\right)=10\cdot16=160$

Opiskelijoita on yhteensä 10+16=26 henkilöä

$P\left(mikä\ tahansa\ pari\right)=\binom{26}{2}=325$

326

47 eläintä

Vilina tunnistaa 35 eläintä

Ei tuunista 12 eläintä

$\binom{47}{5}=1\ 533\ 939$

$\binom{35}{5}=324632$

$P\left(Vilina\ tunnistaa\ kaikki\ viisi\ eläintä\right)=\frac{324632}{1533939}=0{,}211...\approx0{,}21$

327

1-40

$P\left(6+1\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{6}\cdot\binom{1}{1}}{\binom{40}{7}}=\frac{7}{18643560}$

$P\left(6\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{6}\cdot\binom{40-7-1}{1}}{\binom{40}{7}}=\frac{28}{2330445}$

$P\left(4\ oikein\right)=\frac{\binom{7}{4}\cdot\binom{40-7-1}{3}}{\binom{40}{7}}=\frac{4340}{466089}$

329

5 1.opiskeljiaa

7 2.opiskelijaa

Koska delegaatioita voidaan muodosta vain kahdella tavalla:

2 1.opiskelijaa + 1 2.opiskelija

tai

2 2.opiskelijaa + 1 1.opiskelija

$P\left(2\ 1.opiskelijaa+1\ 2.opiskelija\right)=\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{1}=70$

$P\left(2\ 2.opiskelijaa+1\ 1.opiskelija\right)=\binom{7}{2}\cdot\binom{5}{1}=105$

$105+70=175$

V: Delegaatioita voidaan mudosta 175 eri tavalla.

332

$\binom{20}{4}=\frac{20!}{4!\left(20-4\right)!}=\frac{20!}{4!\cdot16!}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{5\cdot19\cdot3\cdot17}{1}=19\cdot17\cdot15$

$\binom{20}{12}=\frac{20!}{12!\left(20-12\right)!}=\frac{20!}{12!\cdot8!}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\frac{19\cdot17\cdot15\cdot14\cdot13}{7}$

$\binom{20}{19}=\frac{20!}{19!\left(20-19\right)!}=$

333

337

338