Teksti

Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right){,}\ x\in\mathbb{R}$

Kertymäfunktio arvo kohdassa x on kohdan x jasit pienempien satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksien summa

414

$F\left(x\right)=\begin{cases} 0{,}&kun\ x<1\\ 0{,}15{,}&kun\ 1\le x\\ 0{,}25{,}&kun\ 2\le x\le3\\ 0{,}5{,}&kun\ 3\le x\le4\\ 0{,}8{,}&kun\ 4\le x\le5\\ 1{,}0{,}&kun\ x\ge5 \end{cases}$

$P\left(X\le3\right)=F\left(3\right)=0{,}5$

$P\left(1<X\le4\right)=F\left(4\right)-F\left(1\right)=0{,}8-0{,}15=0{,}65$

$F\left(2\right)=P\left(X\le2\right)=0{,}25$

401
a) Pistetodennäköisyyksien summa on yksi, joten

$P\left(X=2\right)=1-\left(\frac{1}{16}+\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{16}$

b) Koska e < 3 ja π > 3, saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

$P\left(X\le3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=e\right)=\frac{1}{16}+\frac{5}{16}+\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$

406

$Q=1-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)=1-\left(\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{10}{30}\right)=1-\frac{21}{30}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$

$\left(2{,}\frac{3}{10}\right)$

$\begin{array}{l|l} X&P\left(X=x\right)\\ \hline -3&\frac{1}{6}\\ 2&\frac{3}{10}\\ 4&\frac{1}{5}\\ 6&\frac{1}{3} \end{array}$

c) P(0≤X≤6)

$P(0\le X\le6)=P\left(X=2\right)+P\left(X=4\right)=\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{9}{30}+\frac{6}{30}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

409

412

415