Aihe 4: Käänteisfunktio ja kahden muuttujan funktio
Funktio f(x) ja käänteisfunktio f^-1(x)
Funktiot f ja g ovat toistensa käänt. funktioita, jos
Funktiolla on käänteisfunktio <--> f(x) on monotoninen (koko ajan kasvava tai vähenevä).
Käänteisfunktion derivaatta: Jos derivoituvalla funktiolla on käänteisfunktio niin käänteisfunktion derivaatta kohdassa b
[[$ \left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac{1}{f'\left(a\right)} $]]
Nyt tarkkana!!! a = x:n arvo, b = y:n eli funktion arvo f(a) !!!
t. Pete
- g(f(x)) = x kaikilla x, joilla f määritelty
- f(g(y)) = y kaikilla y, joilla g on määritelty.
Funktiolla on käänteisfunktio <--> f(x) on monotoninen (koko ajan kasvava tai vähenevä).
Käänteisfunktion derivaatta: Jos derivoituvalla funktiolla on käänteisfunktio niin käänteisfunktion derivaatta kohdassa b
[[$ \left(f^{-1}\right)'\left(b\right)=\frac{1}{f'\left(a\right)} $]]
Nyt tarkkana!!! a = x:n arvo, b = y:n eli funktion arvo f(a) !!!
t. Pete
Kahden muuttujan funktio f(x, y)
Tutkitaan kahden muuttujan funktion kulkua ei yhden vaan kahden derivaatan, ns. osittaisderivaatan, avulla.
Toisessa ositt. derivaatassa pidetään y vakiona ja derivoidaan x:n suhteen, toisessa taas pidetään x vakiona ja derivoidaan y:n suhteen.
Merkitään näitä niin että f':n alaindeksinä on se muuttuja joka EI ole vakio.
Eli esim. [[$ f_x'\ \left(a{,}\ b\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h{,}\ b\right)-f\left(a{,}b\right)}{h} $]]
t. Pete
Toisessa ositt. derivaatassa pidetään y vakiona ja derivoidaan x:n suhteen, toisessa taas pidetään x vakiona ja derivoidaan y:n suhteen.
Merkitään näitä niin että f':n alaindeksinä on se muuttuja joka EI ole vakio.
Eli esim. [[$ f_x'\ \left(a{,}\ b\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h{,}\ b\right)-f\left(a{,}b\right)}{h} $]]
t. Pete