Teoria

4.2

433

$f\left(x{,}y\right)=\frac{5}{x^2+y^2+1}$

a) Ratkaistaan yhtälö

$f\left(x{,}y\right)=1$

$\frac{5}{x^2+y^2+1}=1$

$5=x^2+y^2+1$
$x^2+y^2=4$

Funktio f saa arvon 1 ympyrän $x^2+y^2=4$ pisteissä.

b) Funktio f(x,y) arvo on suurin, kun positiivisia arvoja saava nimitäjä saa pienimmän arvonsa $x^2\ge0\ ja\ y^2\ge0$ aine, joten $x^2+y^2+1\ge1$ .

Nimittäjän pienin arvo on siis 1

Funktion suurin arvo on 5.

4.1

4.1 Käänteisfunktio ja sen derivaatta

Määritelmä

Olkoon funktiot f:A(Määrittely joukko)→B(arvojoukko) ja g:B→A

f ja g ovat toistensa käänteisfunktiota, jos

g(f(x))=X kaikilla x∈A

f(g(y))=Y kaikilla y∈B

402

$f\left(x\right)=3x{,}\ g\left(x\right)=\frac{x}{3}$

$g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(3x\right)=\frac{3x}{3}=x$
$f\left(g\left(x\right)\right)=3\left(\frac{x}{3}\right)=x$

Ovat toistensa käänteisfunktiota

- $f^{-1}\left(y\right)=x\ joss\ f\left(x\right)=y$

Esim. $f\left(1\right)=7$ , $f^{-1}\left(7\right)=1$

- Jos funktio määrittelyjoukko on jokin väli ja funtki oon monotoninen tälä välillä, on funtkiolal käänteisfunktio

- Funktion f arojoukko on funktion $f^{-1}$ määrittelyjoukko ja f:n määrittelyjoukko on funktion $f^{-1}$ arvojoukko

- Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen:

1. Merkitse f(x)=y ja ratkaise siitä x

2. Vaihda x⇔y

3. Kirjoita muodossa $f^{-1}\left(x\right)=y$

Esimerkki. f(x)=x²+x f:n[0,∞[→[3,∞[

a) Osoita, että funktiolla on käänteisfunktio. Mikä on sen määrittelyjoukko?

b) Määritä $f^{-1}\left(4\right)$

c) Määritä känteisfunktio laseke

Ratkaisu:

$f'\left(x\right)=2x$

Koska x≥0, niin f'(x)≥0 ja f(x) on kasvava eli monotoninen välillä [0,∞[. Siten funktiolla on olemassa käänteisfunktio, jonka määrittelyjoukko on [3,∞[

3.2

- Jos statunnaismuuttuja X voi saada mink tahansa arvon joltakin lukusuoran väliltä, se on jatkuva satunnaismuuttuja

- Funktio ∈ℝ→ℝ on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio joss f(x) ≥ 0 JA $\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

- Funktio F:ℝ→ℝ, F(x)=P(X≤x) on satunnaismuuttuja X kertymäfuntio. Se kertoo, millä todennäköiisyydellä satunnaismuuttujan arvo on piene,pi tai yhtä suuri kuin x. Koska todennäköisyydet saadaan tiheysfunktion alle jäävästä pinta-alasta, niin $F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)dt$ (tiheysfunktio)

$P(X\ge a)=1-P(x\le a)=1-F(a)$

$P\left(a\le X\le b\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

3.1

Epäoleellinen intergraali on määrätty integraali, jonka alarajana on -∞ ha/tai ylärajana +∞. Ala tai ykärajana voi myös olla luku, jossa integroitava funktio ei ole määritelty.

Esimerkiksi seuraavat ovat epäolellisisa integraaleja.

$\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx$ $\int_{-3}^{\infty}\left(4x^3+8x^2\right)dx$

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx$ $\int_{-1}^0\frac{1}{x}dx{,}\ ei\ ole\ määritelty{,}\ kun\ x=0$

Esimerkki. Laske

$\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-\infty}}^2\left(2\cdot\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right)=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-\infty}}^2\left(\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{2}x^2\right)$

$=\left(\frac{2}{3}\cdot2^3-\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-???$

Ongelma kierretään raja-arvon avulla.

Integroinnissa on käytetty kaavaa: $Kun\ n\ne-1{,}\ \int_{ }^{ }x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

Määritelmä

Välillä [a,∞[ jatkuvan funktion f epäolellinen integraali on

$\int_a^{\infty}f\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(\int_a^tf\left(x\right)dx\right)$ , jos raja-arvo on olemassa.

Tällöin epäolellinen integraali suppenee. Jos äärellistä raja-arvoa ei ole, epäoleellinen integraali hajaantuu.

Vastaavasti välillä ]-∞, b] jatkuvan funktion f epäoleellinen integraali on

$\int_{-\infty}^bf\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^bf\left(x\right)dx\right)$

Esimerkki. Laske

$\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx\right)$

Lasketaan ensin interaali
$\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^2\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2=\left(\frac{16}{3}-2\right)-\left(\frac{2}{3}t^2-\frac{1}{2}t^2\right)=\frac{10}{3}-\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2$

Lasketaan seuraavasksi raja-arvo

$\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx\right)=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(-\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2+\frac{10}{3}\right)$
$\lim_{t\rightarrow\infty}\left(t^3\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2t}+\frac{10}{3t^3}\right)\right)=\infty$

Epäoleellinen integraali $\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx$ hajaantuu.

2.4 Sarja

Lukujonoa $\left(a_k\right)=\left(a_1{,}\ a_2{,}\ a_3{,}\ ...\right)$
$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=a_1+a_2+a_3+...$ kutsutaan sarjaksi.

Sarjan $\sum_{k=1}^{\infty}a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n+a_n$ osasummia ovat

$S_1=a_1$

$S_2=a_1+a_2$
$S_3=a_1+a_2+a_3$
$:$
$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$:$

Sarjan summa tarkoittaa raja-arvoa $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_1+a_2+...+a_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ eli osasummien jonon $\left(S_n\right)$ raja-arvoa.

Sarja suppenee, jos (äärellinen) raja-arvo on olemassa. Muutoin sarja hajaantuu.

270

$S_n=\frac{n}{2n+1}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$

Sarjan sumam on 1/2.

Lause:

Jos sarja $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee, niin $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=0$

Huom:

Jos $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=0$ , niin sarja voi supeta tai hajaantua

Jos $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k\ne0$ tai lukujonolla $\left(a_k\right)$ ei ole raja-arvoa, sarja hajaantuu.

Esimerkki. Suppeneeko vai hajaantuuko sarja?

$1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+...$

Lasketaan osasummin

$S_1=1$
$S_2=1-1=0$

$S_3=1-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$S_4=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

$S_5=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\$

$S_6=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ jne...

Joka toinen osasumma on nolla ja joka toinen pienenee, joten sarja suppenee ja $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=0$

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$

$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$ eli sarja voi supeta tai hajaantua.

Osasummat

$S_1=1$
$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$
$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$
$S_5=\frac{137}{60}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\infty$ eli sarja hajaantuu

Lause

Geometrinen sarja suppenee joss peräkkäisten yhteenlaskettavien lukujen suhteelle q ≠ 0 pätee -1 < q < 1 (tai |q|<1).

Sarjan summa on

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}$

Muutoin geometrinen sarja hajaantuu.

267

$3{,}2121...\ =3+0{,}2121=3+0{,}21+0{,}0021+...$

$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}0001+...$
$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$

Sarja $21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$ on geometrinen, jossa

$a_1=0{,}21\ ja\ q=0{,}01$

Koska -1 < q < 1, sarja suppenee. Sarjan summa on

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0{,}21}{1-0{,}01}=\frac{0{,}21}{0{,}99}=\frac{21}{99}$
$3{,}2121...=3+\frac{21}{99}=\frac{318}{99}^{\text{(}3}=\frac{106}{33}$

2.3 Geometrisen lukujonon suppeneminen

Lukujono on geometrinen, jos peräkkäiste jäsenten suhde $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ on vakio kaikilal n=1, 2, 3, ...

Geometerinen lukujono on muotoa $\left(a_1{,}\ a_1{,}\ a_1q^2{,}...\right)$ , missä $a_1\ne0$ ja $q\ne0$

n:s jäsen on $a_n=a_1q^{n-1}$

Toisaalta n:s jäsen voidaan esittää muodossa

$a_n=a_1q^{n-1}=a_1q^nq^{-1}=a_1q^n\frac{1}{q}=\frac{a_1}{q}q^n=bq^n$ , missä $b=\frac{a_1}{q}\left(\ne0\right)$

Lause

Geometrinen lukujono suppenee jos peräkkäisten jäsenten suhde on välillä -1 ≤ q ≤ 1.

Tällöin

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0{,}\ kun\ -1<q<1$

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a_1{,}\ kun\ q=1$

Esimerkki. Onko lukujono gerometrinen? Määritä lukujonon raja-arvo. Suppeneeko lukujono?

$a_n=5\cdot1{,}25^{n-1}$

Lukujonon n:sjäsen on mutoa $a_n=a_1q^{n-1}$ , missä $a_1=5{,}\ q=1{,}25$ , joten lukujono on geomterinen.

Tai:

Lasketaan peräkkäisten jäsenten suhde

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5\cdot1{,}25^{\left(n+1\right)-1}}{5\cdot1{,}25^{n-1}}=\frac{1{,}25^n}{1{,}25^{n-1}}=1{,}25^{n-\left(n-1\right)}=1{,}25$ vakio, joten lukujono on geometrinen lukujono.

Koska peräkkäisten jäsenten suhde q=1,25>1, lukujono hajaantuu. $\lim_{n\rightarrow\infty}5\cdot1{,}25^{n-1}=\infty$ (raja-arvoa ei ole)

$a_n=\frac{4\cdot2^{n+1}}{3^n}=\frac{4\cdot2^n\cdot2^1}{3^n}=\frac{8\cdot2^n}{3^n}=8\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n$

Lukujonon n:s jäsen on muotoa $a_n=bq^n{,}\ missä\ q=\frac{2}{3}{,}\ b=\frac{a_1}{q}=8{,}\ a_1=bq=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$

eli lukujono on geometrinen

Koska q=2/3, niin q∈]-1,1], joten lukujono suppenee ja $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

1.3 Raja-arvo äärettömyydessä

Kun x→∞, muuttujan arvo suurenee rajatta

Kun x→-∞, muuttujan arvo pienee rajatta

Jos funktion raja-arvo äärettömyydessä on b, merkitään

$\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow\infty$

Jos funktion raja-arvo miinus äärettömyydessä on b, merkitään

$\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=b\ tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Lause

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^n}=0\ ja\ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x^n}=0{,}\ n\in\mathbb{Z}_+$

Esimerkki. Määritä

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x^3+5}{x^3}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{3x^3}{x^3}+\frac{5}{x^3}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(3+5\cdot\frac{1}{x^3}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(3+5\cdot0\right)=3$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+2x^3\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4\left(1+\frac{2}{x}\right)\right)$

Tässä $\frac{2}{x}\rightarrow0{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$ . Siis $1+\frac{2}{x}\rightarrow1{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Lisäksi $x^4\rightarrow\infty{,}\ kun\ x\rightarrow-\infty$

Näin ollen $\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x^4+2x^3\right)=\infty$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x^2+2x}{x^3+2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3\left(\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^3\left(1+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{4\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x^2}}{1+2\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}\right)\rightarrow\frac{4\cdot0+2\cdot0}{1+2\cdot0+0}=\frac{0}{1}=0$
Siis