2.4 Sarja

Lukujonoa $\left(a_k\right)=\left(a_1{,}\ a_2{,}\ a_3{,}\ ...\right)$
$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=a_1+a_2+a_3+...$ kutsutaan sarjaksi.

Sarjan $\sum_{k=1}^{\infty}a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n+a_n$ osasummia ovat

$S_1=a_1$

$S_2=a_1+a_2$
$S_3=a_1+a_2+a_3$
$:$
$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$:$

Sarjan summa tarkoittaa raja-arvoa $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(a_1+a_2+...+a_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ eli osasummien jonon $\left(S_n\right)$ raja-arvoa.

Sarja suppenee, jos (äärellinen) raja-arvo on olemassa. Muutoin sarja hajaantuu.

270

$S_n=\frac{n}{2n+1}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\rightarrow\infty}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$

Sarjan sumam on 1/2.

Lause:

Jos sarja $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ suppenee, niin $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=0$

Huom:

Jos $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k=0$ , niin sarja voi supeta tai hajaantua

Jos $\lim_{k\rightarrow\infty}a_k\ne0$ tai lukujonolla $\left(a_k\right)$ ei ole raja-arvoa, sarja hajaantuu.

Esimerkki. Suppeneeko vai hajaantuuko sarja?

$1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+...$

Lasketaan osasummin

$S_1=1$
$S_2=1-1=0$

$S_3=1-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$S_4=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

$S_5=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\$

$S_6=1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ jne...

Joka toinen osasumma on nolla ja joka toinen pienenee, joten sarja suppenee ja $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=0$

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$

$\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0$ eli sarja voi supeta tai hajaantua.

Osasummat

$S_1=1$
$S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
$S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$
$S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$
$S_5=\frac{137}{60}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\infty$ eli sarja hajaantuu

Lause

Geometrinen sarja suppenee joss peräkkäisten yhteenlaskettavien lukujen suhteelle q ≠ 0 pätee -1 < q < 1 (tai |q|<1).

Sarjan summa on

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}$

Muutoin geometrinen sarja hajaantuu.

267

$3{,}2121...\ =3+0{,}2121=3+0{,}21+0{,}0021+...$

$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}0001+...$
$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$

Sarja $21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$ on geometrinen, jossa

$a_1=0{,}21\ ja\ q=0{,}01$

Koska -1 < q < 1, sarja suppenee. Sarjan summa on

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0{,}21}{1-0{,}01}=\frac{0{,}21}{0{,}99}=\frac{21}{99}$
$3{,}2121...=3+\frac{21}{99}=\frac{318}{99}^{\text{(}3}=\frac{106}{33}$