3.1

Epäoleellinen intergraali on määrätty integraali, jonka alarajana on -∞ ha/tai ylärajana +∞. Ala tai ykärajana voi myös olla luku, jossa integroitava funktio ei ole määritelty.
Esimerkiksi seuraavat ovat epäolellisisa integraaleja.
\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx\int_{-3}^{\infty}\left(4x^3+8x^2\right)dx
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{x^2+1}dx\int_{-1}^0\frac{1}{x}dx{,}\ ei\ ole\ määritelty{,}\ kun\ x=0
Esimerkki. Laske
\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-\infty}}^2\left(2\cdot\frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{1}{1+1}x^{1+1}\right)=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-\infty}}^2\left(\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{2}x^2\right)
=\left(\frac{2}{3}\cdot2^3-\frac{1}{2}\cdot2^2\right)-???
Ongelma kierretään raja-arvon avulla.
Integroinnissa on käytetty kaavaa: Kun\ n\ne-1{,}\ \int_{ }^{ }x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C
Määritelmä
Välillä [a,∞[ jatkuvan funktion f epäolellinen integraali on 
\int_a^{\infty}f\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\left(\int_a^tf\left(x\right)dx\right), jos raja-arvo on olemassa.
Tällöin epäolellinen integraali suppenee. Jos äärellistä raja-arvoa ei ole, epäoleellinen integraali hajaantuu. 
Vastaavasti välillä ]-∞, b] jatkuvan funktion f epäoleellinen integraali on 
\int_{-\infty}^bf\left(x\right)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^bf\left(x\right)dx\right)
Esimerkki. Laske
\int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx\right)
Lasketaan ensin interaali
\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^2\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2=\left(\frac{16}{3}-2\right)-\left(\frac{2}{3}t^2-\frac{1}{2}t^2\right)=\frac{10}{3}-\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2
Lasketaan seuraavasksi raja-arvo
\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\int_t^2\left(2x^2-x\right)dx\right)=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(-\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2+\frac{10}{3}\right)
\lim_{t\rightarrow\infty}\left(t^3\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2t}+\frac{10}{3t^3}\right)\right)=\infty
Epäoleellinen integraali \int_{-\infty}^2\left(2x^2-x\right)dxhajaantuu.