Esimerkin 2 ratkaisu
Lääketieteellisen merkkiaineen aktiivisuus sen valmistuksen jälkeen on 45 MBq. Aktiivisuus on 34 MBq, kun aine tuodaan sairaalaan 16 tunnin kuluttua.
- Määritä aineen puoliintumisaika.
- Aine on käyttökelpoista, kunnes sen kokonaisaktiivisuus laskee alle 5,0 MBq. Kuinka kauan tähän kuluu aikaa?
Ratkaisu
a. Aktiivisuus vähenee hajoamislain mukaisesti. Valmistuksen jälkeen [[$ A_0=45 \text { MBq} $]] ja 16 tunnin kuluttua [[$ A=34 \text { MBq} $]].
[[$ \quad \begin {align*} A&=A_0 e^{-\lambda t}\\ \, \\
\dfrac {A}{A_0}&= e^{-\lambda t} \\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\lambda t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}\cdot T_{1/2}&=-\ln 2 \cdot t\\ \, \\
T_{1/2}&=\dfrac{-\ln 2} { \ln \frac {A}{A_0}}\cdot t\\ \, \\
T_{1/2}&=\dfrac{-\ln 2} { \ln \frac {34 \text{ MBq}}{45 \text{ MBq}}}\cdot 16 \text{ h}=39,56\dots \text{h}\approx 40 \text{ h}\\
\end {align*} $]]
b. Lasketaan aika [[$ t $]], jolloin aktiivisuus [[$ A $]] on 5,0 MBq. Alkuhetkeksi valitaan saapuminen sairaalaan, jolloin [[$ A_0=34 \text { MBq} $]].
[[$ \quad \begin {align*} A&=A_0 e^{-\lambda t}\\ \, \\
\dfrac {A}{A_0}&= e^{-\lambda t}\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\lambda t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} t\\ \, \\
t&=\dfrac{ \ln \frac {A}{A_0}}{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}}\\ \, \\
t&=\dfrac{ \ln \frac {5,0 \text{ MBq}}{34\text{ MBq}}}{-\frac{\ln 2}{ 39,6\text{ h}}}=109,5\dots\text{h}\approx 110 \text{ h}\\ \end {align*} $]]
