Peruskoululaisen oppilaan lukukäsitys kehittyy vaiheittain, yliopisto-opiskelijan taas esimerkiksi seuraavasti.

• luonnolliset luvut [[$\mathbb{N}$]] induktiivisesti
  
  • [[$0:=\{\}$]]
  • [[$1:=\{\{\}\}$]]
  • [[$n+1:=n\cup\{n\}$]]
• kokonaisluvut [[$\mathbb{Z}$]] ekvivalenssiluokkina [[$\ (a,b)/z$]]
  • relaatio [[$z\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$]]
  • [[$(a,b)z(c,d)\iff a+d=b+c$]]
• rationaaliluvut [[$\mathbb{Q}$]] ekvivalenssiluokkina [[$\ (a,b)/q$]]
  • relaatio [[$q\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$]]
  • [[$(a,b)q(c,d)\iff ad=bc$]]
• reaaliluvut [[$\ (\mathbb{R},+,\cdot,\leq)$]] kuntana
  • laskutoimitukset [[$+$]] ja [[$\cdot$]] vaihdannaisia:
    • [[$a+b=b+a$]]
    • [[$a\cdot b=b\cdot a$]]
  • laskutoimitukset [[$+$]] ja [[$\cdot$]] liitännäisiä:
    • [[$a+(b+c)=(a+b)+c$]]
    • [[$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$]]
  • laskutoimituksilla [[$+$]] ja [[$\cdot$]] neutraalialkiot:
    • [[$a+0=a$]]
    • [[$a\cdot 1=a$]]
  • laskutoimituksen [[$+$]] suhteen neutraalialkiot:
    • [[$a+(-a)=0$]]
  • laskutoimituksen [[$\cdot$]] suhteen neutraalialkiot:
    • [[$a\cdot a^{-1}=1$]], [[$a\neq0$]]
  • osittelulaki:
    • [[$a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$]]
  • relaatio [[$\leq$]] refleksiivinen:
    • [[$x\leq x$]]
  • relaatio [[$\leq$]] antisymmetrinen:
    • [[$x\leq y$]], [[$y\leq x$]] [[$\Rightarrow$]] [[$x=y$]]
  • relaatio [[$\leq$]] transitiivinen:
    • [[$x\leq y$]], [[$y\leq z$]] [[$\Rightarrow$]] [[$x\leq z$]]
  • laskutoimitus [[$+$]] säilyttää relaation [[$\leq$]]:
    • [[$x\leq y$]] [[$\Rightarrow$]] [[$x+z\leq y+z$]]
  • laskutoimitus [[$\cdot$]] säilyttää relaation [[$\leq$]]:
    • [[$0\leq x$]], [[$0\leq y$]] [[$\Rightarrow$]] [[$0\leq x\cdot y$]]
• kompleksiluvut [[$\mathbb{C}$]] reaalikertoimisten polynomien [[$\mathbb{R}[X]$]] tekijärenkaana [[$\mathbb{R}[X]/\langle X^2+1\rangle$]]