4 Suora ja taso

Malliratkaisuja 4.2

439.
Pisteen $P=\left(6{,}\ -20{,}\ \ 41\right)$ etäisyys tasosta $x-4y+8z-9=0$ .

(Tarkistetaan, onko piste P tasolla: $6-4\cdot\left(-20\right)+8\cdot41-9=405$ , joten piste P ei ole tasolla)

Tarvitaan tasolle kohtisuora suora, joka kulkee pisteen P kautta.

Suoran suuntavektori on $\overline{n}=1\overline{i}-4\overline{j}+8\overline{k}$ , joten parametrimuotoinen yhtälö on

$\begin{cases} x=6+t&\\ y=-20-4t&\ \ \ t\in\mathbb{R}\\ z=41+8t& \end{cases}$

Tasolla kohtisuoraan oleva piste on $P'=\left(6+t{,}\ -20-4t{,}\ 41+8t\right)$

Sijoitetaan koordinaatit tason yhtälöön ja ratkaistaan t

$\left(6+t\right)-4\left(-20-4t\right)+8\left(41+8t\right)-9=0$

$t=-5$

Sijoitetaan tämä suoran yhtälöön, niin saadaan piste P'
$P'\ =\left(6+\left(-5\right){,}\ -20-4\cdot\left(-5\right){,}\ 41+8\cdot\left(-5\right)\right)$
$=\left(1{,}\ 0{,}\ 1\right)$

Lasketaan vektorin PP' pituus

$\overline{PP'}=\left(1-6\right)\ \overline{i}+\ \left(0-\left(-20\right)\right)\ \overline{j}+\left(1-41\right)\ \overline{k}$ $=-5\overline{i}\ +\ 20\ \overline{j}\ -40\ \overline{k}$

$\left|\overline{PP'}\right|=\sqrt{5^2+20^2+40^2}=45$

ESIMERKKI

Suora

$\begin{cases} x=3-4t&\\ y=2+t&\ \ t\in\mathbb{R}\\ z=-1+3t& \end{cases}$

on kohtisuorassa tasoa vastaan.

Määritä sen tason yhtälö, jonka eräs piste on $A=\left(2{,}\ 4{,}\ 3\right)$ .

--------------------

Tason (eräs) normaalivektori on annetun suoran suuntavektori (koska suora on kohtisuorassa tasoa vastaan):

$\overline{n}=-4\overline{i}+1\overline{j}+3\overline{k}$

joten tason yhtälö on:
$a\cdot\left(x-x_0\right)+b\cdot\left(y-y_0\right)+c\cdot\left(z-z_0\right)=0$

$-4\cdot\left(x-2\right)+1\cdot\left(y-4\right)+3\cdot\left(z-3\right)=0$

$-4x+8+y-4+3z-9=0$
$-4x+y+3z-5=0$

V: Tason yhtälö on .

440.

a) (1, 0, 0)

b) (1, 2, 0)

P = (1, 2, 3)

Muodostetaan tasolle kohtisuoran suoran, joka kulkee pisteen P kautta, parametrimuotoinen yhtälö

suoran suuntavektori on tason normaalivektori $\overline{n}=2\overline{i}+3\overline{j}\ -\overline{k}$

$\begin{cases} x=1+2t&\\ y=2+3t&\ \ \ t\in\mathbb{R}\\ z=3-t& \end{cases}$

Projektiopisteen P' koordinaatit ovat x = 1+2t, y = 2+3t, z= 3-t.

Sijoitetaan nämä tason yhtälöön:

$2\left(1+2t\right)+3\left(2+3t\right)-\left(3-t\right)+1=0$

$2+4t+6+9t-3+t+1=0$
$14t+6=0$
$t=-\frac{6}{14}=-\frac{3}{7}$

sijoitetaan: $P'=\left(1+2\cdot\frac{-3}{7}{,}\ 2+3\cdot\frac{-3}{7}{,}\ 3-\frac{-3}{7}\right)$

$=\left(\frac{7}{7}+\frac{-6}{7}{,}\ \frac{14}{7}+\frac{-9}{7}{,}\ \frac{21}{7}-\frac{-3}{7}\right)$
$=\left(\frac{1}{7}{,}\ \frac{5}{7}{,}\ \frac{24}{7}\right)$

Malliratkaisuja

412
suora a:

$P=\left(-1{,}3{,}2\right)$
$\overline{s}=i-j+k$
suora b:

$A=\left(-3{,}2{,}-3\right)$
$B=\left(-1{,}1{,}0\right)$
$\overline{AB}=\left(-1-\left(-3\right)\right)i+\left(1-2\right)j+\left(0-\left(-3\right)\right)k=2i-1j+3k$

suora a:

$\begin{cases} x=-1+1t&\\ y=3-1t&t\in\mathbb{R}\\ z=2+1t& \end{cases}$

suora b:

$\begin{cases} x=-1+2r&\\ y=1-1r&r\in\mathbb{R}\\ z=0+3r& \end{cases}$

Leikkauspisteessä koordinaatit ovat samat:

$\begin{cases} -1+1t&=&-1+2r\\ 3-1t&=&1-1r\\ 2+1t&=&0+3r \end{cases}$

$r=2{,}\ \ \ \ t=4$

V: $\begin{cases} x=3&\\ y=-1&\\ z=6& \end{cases}$

Kohta b) samalla tavalla. Yhtälöryhmällä ei ratkaisua => eivät leikkaa.

417:
$\begin{cases} x=3-2t&&\\ y=-1+2t&&t\in\mathbb{R}\\ z=3-t&& \end{cases}$

$A=\left(3{,}\ 11{,}\ 9\right)$

Kohtisuoraan pisteestä A suoralle on piste A'.

Suoran suuntavektori on $\overline{s}=-2\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k}$ . Tämä, ja vektori $\overline{AA'}$ ovat kohtisuorassa.

Piste A' on $A'\ =\ \left(3-2t{,}\ \ -1+2t{,}\ \ \ 3-t\right)$ , joten vektori

$\overline{AA'}\ =\ \left(3-2t-3\right)\overline{i}+\left(-1+2t-11\right)\overline{j}+\left(3-t-9\right)\overline{k}$

$=-2t\ \overline{i}\ +\ \left(2t-12\right)\overline{j}\ +\ \left(-t\ -6\right)\ \overline{k}$ .

Lasketaan vektorien s ja AA' pistetulo:

$\overline{s}\cdot\overline{AA'}=-2\left(-2t\right)+2\left(2t-12\right)-1\left(-t-6\right)$

$=4t+4t-24+t+6\ =\ 9t\ -18$

Koska s ja AA' kohtisuorassa, pistetulo on nolla:

$9t-18=0$

$9t=18$
$t=\frac{18}{9}=2$

sijoitetaan t vektoriin AA':

$\overline{AA'}=-2\cdot2\ \overline{i}\ +\ \left(2\cdot2-12\right)\overline{j}\ +\ \left(-2\ -6\right)\ \overline{k}$

$=-4\overline{i}\ +\ -8\ \overline{j}\ -8\overline{k}$

$\left|\overline{AA'}\right|=\sqrt{4^2+8^2+8^2}=\sqrt{16+64+64}=\sqrt{144}=12$

V: 12 yksikön päässä.

$A'\ =\ \left(3-2\cdot2{,}\ \ -1+2\cdot2{,}\ \ \ 3-2\right)\ =\ \left(-1{,}\ 3{,}\ 1\right)$