Luonnollinen logaritmi

Malliratkaisuja

423

$f\left(x\right)=e^{2x}-25$

$f\left(x\right)=0$
$e^{2x}-25=0$
$e^{2x}=25$
$\left(e^x\right)^2=25$
kolme tapaa jatkaa:
$\begin{array}{l|l} e^x=5\ \ \ \ \text{tai}\ \ \ e^x=-5&\ln25=2x&\ln5^2=2x\\ \hline x=\ln5\ \ \text{tai}\ ei\ ratk.&x=\frac{\ln25}{2}=\frac{\ln5^2}{2}=\frac{2\ln5}{2}=\ln5&2\ln5=2x\\ &&\ln5=x \end{array}$

Teoria ja esimerkit

Määritelmä:
Luvun b > 0 e-kantaista logaritmia $\log_eb$ kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi ja merkitään $\ln b$
eli $\log_eb=x\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^x=b$ voidaan kirjoittaa
$\ln b=x\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^x=b$

ESIM 1
a) 3e^x – 9 = 0
b) ln x = –2
c) e^3x = 8
d) e^2x – 2e^x = 0

Lause: Positiivisille luvuille a ja b pätee seuraavat säännöt:
$e^a=e^b\ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\ =b$
$\ln a=\ln b\ \ \Leftrightarrow\ \ a\ =\ b$

ESIM 2.
Ratkaise 0,63^x ⋅ 4,2 = 2. Anna vastauksena kaksidesimaalinen likiarvo.

Eksponenttifunktion derivaatta

$\text{D}a^x=a^x\ln a$ , $a>0$

ESIM. $\text{D}5^x=5^x\ln5$

Vastaukset

ESIM 1

a) $3e^x-9=0$
$3e^x=9$
$e^x=3$
$x=\ln3$
b)

$\ln x=-2$

$e^{-2}=x$
$x=\frac{1}{e^x}$

$e^{3x}=27$
$3x=\ln8$
$3x=\ln2^3$
$3x=3\ln2$
$x=\ln2$

d)

$e^{2x}-2e^x=0$
$e^xe^x-2e^x=0$
$e^x\left(e^x-2\right)=0$

$e^x=0\ \ \ \text{tai}\ \ e^x-2=0$

ei ratkaisua tai $e^x=2$

$x=\ln2$

ESIM2
$0{,}63^x\cdot4{,}2=2$
$0{,}63^x=\frac{2}{4{,}2}$
$\ln\left(0{,}63^x\right)=\ln\left(\frac{2}{4{,}2}\right)$
$x\ln\left(0{,}63\right)=\ln\left(\frac{2}{4{,}2}\right)$
$x=\frac{\ln\left(\frac{2}{4{,}2}\right)}{\ln\left(0{,}63\right)}=1{,}6058...\approx1{,}61$

HUOM! Myös $x=\log_{0{,}63}\left(\frac{2}{4{,}2}\right)$ on oikein eli $\log_{0{,}63}\left(\frac{2}{4{,}2}\right)=\frac{\ln\left(\frac{2}{4{,}2}\right)}{\ln0{,}63}$ .

Yleisestikin, kantalukua voi vaihtaa:
$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ (totea)