Teksti

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P\left(X=0\right)=\frac{3}{8}
P\left(X=1\right)=\frac{1}{4}
P\left(X=2\right)=\frac{1}{8}
P\left(X=3\right)=\frac{1}{4} 
a)
 
E\left(X\right)=\frac{3}{8}\cdot0+\frac{1}{4}\cdot1+\frac{1}{8}\cdot2+\frac{1}{4}\cdot3=1{,}25
b)
D\left(X\right)=\sqrt[]{\frac{3}{8}\left(0-2{,}25\right)^2+\frac{1}{4}\left(1-2{,}25\right)^2+\frac{1}{8}\left(2-2{,}25\right)^2+\frac{1}{4}\left(4-2{,}25\right)^2}=1{,}198...\approx1{,}20
 
423
\begin{array}{l|l}
Kruuna&x&x\\
\hline
Klaava&x&x\\
&Klaava&Kruuna
\end{array}
\begin{array}{l|l}
&\\
\hline
2&2\\
1&-1\\
0&0
\end{array}
a)
P\left(X=0\right)=P\left(2\ klaavaa\right)=\frac{1}{4}
P\left(X=-1\right)=P\left(1\ kruuna\right)=\frac{1}{2}
P\left(X=2\right)=P\left(2\ kruunaa\right)=\frac{1}{4}
E\left(X\right)=0\cdot\frac{1}{4}+\left(-1\right)\cdot\frac{1}{2}+\cdot2\cdot\frac{1}{4}=0
b)
0\ euroa
 
424
a)
\begin{array}{l|l}
Voitto&Kpl&Todennäköisyys\\
\hline
999&50&\frac{50}{3\ 000\ 000}\\
99&100&\frac{100}{3\ 000\ 000}\\
19&30\ 000&\frac{30\ 000}{3\ 000\ 000}\\
1&300\ 000&\frac{300\ 000}{3\ 000\ 000}\\
0&420\ 000&\frac{420\ 000}{3\ 000\ 000}\\
-1&3\ 000\ 000-750\ 150=2249850&\frac{2\ 249\ 850}{3\ 000\ 000}
\end{array}
E\left(X\right)=\frac{50}{3\ 000\ 000}\cdot999+\frac{100}{3\ 000\ 000}\cdot99+\frac{30\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot19+\frac{300\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot1+\frac{420\ 000}{3\ 000\ 000}\cdot0+\frac{2\ 249\ 850}{3\ 000\ 000}\cdot-1=-0{,}44
b)
Koska on 2 249 850 kpl arpaa jolla ei saa penniäkään, joten jos osetetaan 2 249 851 arpaa, ainakin yhdellä arvalla saa jonkin voiton.
 
425
\begin{matrix}
\begin{matrix}
6&7&8&9&10\\
5&6&7&8&9\\
4&5&6&7&8\\
3&4&5&6&7\\
2&3&4&5&6\\
1&2&3&4&5\\
&1&2&3&4
\end{matrix}
\end{matrix}
a)
\begin{array}{l|l}
x&P\left(X=x\right)\\
\hline
2&\frac{1}{24}\\
3&\frac{1}{12}\\
4&\frac{1}{8}\\
5&\frac{1}{6}\\
6&\frac{1}{6}\\
7&\frac{1}{6}\\
8&\frac{1}{8}\\
9&\frac{1}{12}\\
10&\frac{1}{24}
\end{array}
b)
\text{E}\left(X\right)=2\cdot\frac{1}{24}+3\cdot\frac{1}{12}+4\cdot\frac{1}{8}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}+7\cdot\frac{1}{6}+8\cdot\frac{1}{8}+9\cdot\frac{1}{12}+10\cdot\frac{1}{24}=6
 
427
a)
\overline{P}=Kukaan\ ei\ tee\ mallia
\overline{P}_1=1-P_1=1-0{,}65=0{,}35
\overline{P}_2=1-P_2=1-0{,}75=0{,}25
\overline{P}_3=1-P_3=1-0{,}54=0{,}46
\overline{P}=\overline{P}_1\cdot\overline{P}_2\cdot\overline{P}_3=0{,}04025
Siten
P=Ainakin\ yksi\ tekee\ mallia
P=1-\overline{P}=0{,}9597...\approx0{,}96
b)
E\left(x\right)=1\cdot0{,}65+1\cdot0{,}75+1\cdot0{,}54=1{,}94

428
5 punaista
3 vihreää
1 musta
\begin{array}{l|l}
Tulos&Voitto\\
\hline
2\ samaa&5\\
Punainen\ JA\ Vihreä&1\\
Ainakin\ yksi\ on\ musta&-5
\end{array}
\begin{array}{l|l}
Yht.&9\\
\hline
Punainen&\frac{5}{9}\\
Vihreä&\frac{1}{3}\\
Musta&\frac{1}{9}
\end{array}
\begin{array}{l|l}
x&P\left(X=x\right)\\
\hline
5&0{,}361\\
1&0{,}185\\
-5&0{,}111
\end{array}e
P\left(X=5\right)=P\left(punainen\ JA\ punainen\ TAI\ vihreä\ JA\ vihreä\right)
=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}+\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=0{,}3611...\approx0{,}361
P\left(X=1\right)=P\left(punainen\ JA\ Vihreä\right)=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{3}=0{,}1851...\approx0{,}185
P\left(X=-5\right)=\frac{1}{9}=0{,}1111...\approx0{,}111
E\left(X\right)=5\cdot0{,}361+1\cdot0{,}185+-5\cdot0{,}111=1{,}435

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430
433
435