Aihe 3: Jaollisuus ja korkeamman asteen yhtälöt

Teoriaa 1: Polynomien jaollisuus

Olkoot P(x), S(x), Q(x) ja R(x) ovat polynomeja (P = jaettava, S = jakaja, Q = osamäärä ja R = jakojäännös). Jakolasku

P(x) : S(x) = Q(x) + R(x) : S(x)

voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa ns. jakoyhtälönä:  

P(x) = Q(x)S(x) + R(x)

Polynomi P(x) on jaollinen S(x):llä jos jako menee tasan eli jakojäännös R(x) on nolla. Erityisesti jos jakajana on binomi S(x) = x - a, niin jako menee tasan jos x = a on myös P(x):n nollakohta eli P(a) = 0. (Perustelut kirjan s. 48-49)

Teoria 2: Korkeamman asteen polynomiyhtälön ratkaisuvaiheet

Yksi mahdollinen ratkaisualgoritmi, jossa käytetään hyväksi jaollisuutta ja tulon nollasääntöä:
1. Arvaa yksi ratkaisu x = a yhtälölle f(x) = 0 (käytä kuvaajaa apuna).
2. Osoita että löydetty ratkaisu todella toteuttaa yhtälön: oltava f(a) = 0.
3. Jaa jakokulmassa f(x) : (x -a). Jako menee tasan koska x = a on f(x):n nollakohta ja jäljelle jäävän polynomin asteluku tippuu yhdellä. Toista taas vaiheet 1-3 niinkauan että jäljelle jää 1. tai 2. asteen polynomi. Käytä sitten tulon nollasääntöä kaikkiin tulon tekijöihin.  

Jotkut polynomiyhtälöt ovat ns. bikvadraattisia ja ne voi ratkaista sopivan sijoituksen jälkeen 2. asteen ratkaisukaavalla, kirjan s. 60-61.