Teksti

442
a) Funktio f ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin
jäävän alueen pinta-ala ei ole 1 (vaan 2).
Funktio g ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin
jäävän alueen pinta-ala ei ole 1 (vaan suurempi).
Funktio h ei ole tiheysfunktio, koska se saa negatiivisia arvoja.
b) Funktio k on tiheysfunktio, koska se ei saa missään negatiivisia arvoja
ja lisäksi sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on 1.

444

$P\left(X=a\right)=0{,}37$

$P\left(a\le X\le b\right)=0{,}39$

$P\left(X\le a\right)=P\left(X\le a\right)-P\left(X=a\right)$

$P\left(X=a\right)$ tarkoittaa funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala kohdassa x=a eli janan pinta-alaa. Janan pinta-ala on nolla eli jakautuneen satunnaismuuttujan yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla eli

$P\left(X=a\right)=0$ . Siten $P\left(X\le a\right)=P\left(X<a\right)=0{,}37$ .

$P\left(X<b\right)=P\left(X\le b\right)-P\left(X=b\right)=P\left(X<a\right)+P\left(a\le X\le b\right)=0{,}37+0{,}39=0{,}76$

c)Tapahtumat X > a ja X ≤ a ovat oistensa vastatapahtumia, joten

$P\left(X>a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-0{,}37=0{,}63$

d)Tapahtumat X ≥ b ja X < b ovatvastatapahtumia, joten

$P\left(X\ge b\right)=1-P\left(X<b\right)=1-0{,}76=0{,}24$

445
Kuvassa A on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä a ≤ x ≤ b
jäävän alueen pinta-ala. Kun f on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio,
tämä pinta-ala on sama kuin todennäköisyys P(a ≤ X ≤ b), joka on sama
kuin P(a < X ≤ b). Siis kuvaan A sopivat merkinnät II ja VI.
Kuvassa B on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x > b jäävän
alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X > b) eli merkintä V.
Kuvassa C on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x < b jäävän
alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X ≤ b) eli merkintä I.
Kuvassa D on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin väleillä x < a ja x > b
jäävän kaksiosaisen alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys
P(X < a tai X > b). Tapahtuman "X < a tai X > b" vastatapahtuma on
tapahtuma a ≤ X ≤ b, jonka todennäköisyys näkyy kuvassa valkoisen
alueen pinta-alana. Siis kuvaan merkittyä (väritettyä) pinta-alaa vastaa
todennäköisyys P(X < a tai X > b) = 1 − P(a ≤ X ≤ b) eli merkintä III.