Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Kenttäviivapiirroksen esittämään sähkökenttään pisteeseen A tuodaan elektroni. Selitä, millaista on sen liike. Muut kuin sähköinen voima ovat merkityksettömät. Miten hiukkasen käyttäytyminen poikkeaisi tästä, jos kyseessä olisi protoni?
Ratkaisu
Sähkökentän suunta on sama kuin kentässä olevaan positiiviseen varaukseen kohdistuvan voiman suunta. Elektroniin kohdistuu siis sähköinen voima kuvassa vasemmalle, ja sen liike on kiihtyvää.
Protonin sähkövaraus on positiivinen, joten siihen kohdistuva sähköinen voima on sähkökentän suuntainen eli kuvassa oikealle. Myös protonin liike on kiihtyvää. Newtonin toisen lain perusteella voidaan ratkaista kappaleen kiihtyvyys, jos siihen kohdistuva voima tunnetaan.
[[$ \begin{align} \quad F&=ma\\ \, \\ a&=\dfrac {F}{m} \end{align} $]]
Protonin massa on suurempi kuin elektronin, joten esitetyn kaavan perusteella sen kiihtyvyys on pienempi kuin elektronin.
Elektronin liike on kiihtyvää, ja siihen kohdistuu sähköinen voima kuvassa vasemmalle. Protonin liikkeen kiihtyvyys olisi pienempi kuin elektronin, ja voiman suunta olisi kuvassa oikealle.
Esimerkin 2 ratkaisu
Eboniittipalloa ja 12 gramman lasipalloa hangataan muovikalvolla. Lasipallon säde on 1,1 cm ja eboniittipallon 1,5 cm. Oletetaan, että palloihin kertyvät vastakkaismerkkiset varaukset ovat suuruudeltaan samat. Laske arvio vaaditulle varausten suuruudelle, jotta eboniittipallo jaksaisi kannatella lasipalloa. Eboniitti ja lasi ovat eristeitä, joten oletetaan, etteivät pallojen varaukset tasoitu niiden koskettaessa toisiaan.
Ratkaisu
Sähköinen voima riittää kannattelemaan lasipalloa, jos se on yhtä suuri kuin palloon kohdistuva paino. Painon suuruus on kaavan [[$ G=mg $]] mukainen, ja sähköinen voima noudattaa Coulombin lakia [[$F=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}$]]. Varaukset ovat samat, joten niitä voidaan merkitä [[$Q$]], jolloin niiden tulo on [[$Q^2$]]. Lasipallo on mahdollisimman lähellä eboniittipalloa, joten niiden välinen etäisyys on säteiden summa, [[$ r= 2{,}6\text{ cm} $]].
Ratkaistaan siis varaus yhtälöstä [[$ G=F $]].
[[$ \quad\begin{align*} mg&=k\dfrac{Q^2}{r^2}\\ \ \\ r^2mg&=kQ^2\\ \ \\ Q^2&=\dfrac{r^2mg}{k}\\ \ \\ Q&=\sqrt{\dfrac{r^2mg}{k}}\\ \ \\ &=\sqrt{ \dfrac{ \left(0{,}026\text{ m}\right)^2 \cdot 0{,}012\text{ kg}\cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 }{8{,}98755\cdot 10^9\,\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}}}\\ \ \\ &=9{,}40\dotso \cdot 10^{-8}\text{ C}\approx 9{,}4 \cdot 10^{-8} \text { C}\end{align*} $]]
Vaadittu varausten suuruus on noin 9,4 · 10-8 C.
Esimerkin 3 ratkaisu
Kuinka suuri ja minkä suuntainen sähkökenttä on luotava, jotta protoni leijuisi siinä paikallaan putoamatta alas painovoiman vetämänä?
Ratkaisu
Protoni voi leijua sähkökentässä, jos sähköinen voima on yhtä suuri, mutta vastakkaissuuntainen protoniin kohdistuvan painon kanssa. Protonilla on positiivinen sähkövaraus [[$e$]], joten siihen kohdistuva sähköinen voima on sähkökentän suuntainen. Siis sähkökentän suunnan on oltava ylöspäin.
Painon suuruus lasketaan kaavalla [[$ G=mg $]] ja sähköisen voiman suuruus kaavalla [[$ F=QE $]]. Sähkökentän voimakkuus ratkaistaan seuraavasta yhtälöstä.
[[$ \quad\begin {align*}QE&=mg\\ \ \\ E&=\dfrac{mg}{Q}\\ \ \\ &=\dfrac{1{,}6726 \cdot 10^{-27}\text{ kg}\cdot 9{,}81 \text{ m/s}^2 }{1{,}6022 \cdot 10^{-19}\text{ C}}\\ \ \\ &=1{,}02\dotso \cdot 10^{-7}\text{ N/C}\approx 1{,}0 \cdot 10^{-7} \text{ N/C} \end {align*} $]]
Sähkökentän suunnan on oltava ylöspäin, ja sen voimakkuuden tulisi olla noin 1,0 · 10-7 N/C.
Esimerkin 4 ratkaisu
Sähköisesti varattu pallo roikkuu yläpäästään kiinnitetystä eristelangasta. Pallo on vaakasuuntaisessa sähkökentässä, jolloin lanka muodostaa 17 asteen kulman pystysuoran kanssa. Pallon massa on 25 g ja sähkökentän voimakkuus 120 N/C.
- Piirrä pallon voimakuvio.
- Määritä pallon sähkövaraus.
Ratkaisu
a. Palloon vaikuttavat voimat ovat sähköinen voima [[$F$]], paino [[$G$]] ja langan tukivoima [[$T$]]. Pallo pysyy paikallaan, joten voimien vektorisumma on nolla.
b. Newtonin II lain mukaan tasapainossa voimien vektorisumma on nolla.
[[$\quad \bar{T}+\bar{F}+\bar{G}=\bar{0}$]]
Sähköisen voiman ja painon määritelmät ovat seuraavat.
[[$\quad F=QE$]]
[[$\quad G=mg$]]
Kaavoissa [[$Q$]] on pallon varaus, [[$E$]] sähkökentän voimakkuus, [[$m$]] pallon massa ja [[$g$]] putoamiskiihtyvyys.
Sähköisen voiman ja painon välillä on trigonometrinen yhteys.
[[$\quad \tan \alpha = \dfrac{F}{G}$]]
[[$\quad \tan \alpha = \dfrac{QE}{mg}$]]
Ratkaistaan pallon varauksen suuruus. Varaus on positiivinen, koska sähköinen voima on kentän suuntainen.
[[$\quad Q=\dfrac{mg\cdot \tan \alpha}{E}$]]
[[$\quad Q=\dfrac{0{,}025 \text{ kg}\cdot 9{,}81\text{ m/s}^2\cdot \tan 17 ^{\circ}}{120\text{ N/C}}=0{,}0006248 \text{ C}\approx 620\,\mu \text{C}$]]