1.1 Geometrinen vektori

Vektori on suure, jolla on suuruus ja suunta.

Se voidaan kuvata nuolella, suunnattuna janana, jolloin vektorin suuruus on janan pituus.
Vektorin pituus merkitään samoin kuin janan: $\left|\ \overline{a}\ \right|$ .

Tekstissä vektoriin voidaan viitata eri tavoin

yleisin tapa on piirtää nimen ylle viiva tai nuoli: $\overline{a}$ tai $\overrightarrow{a}$
$AB$ , jos vektori kulkee pisteestä A pisteeseen B
a, jos viivaa on hankala kirjoittaa (koneella).
Voi myös kirjoittaa "a on vektori".

Vektorien vertailuun tarvitaan sekä suuruutta että suuntaa

Vektorit voivat olla yhdensuuntaisia ja erisuuntaisia (ja kohtisuoria ⊥) kuten janat,
mutta nuolen suunta huomioiden myös samansuuntaisia ja vastakkaissuuntaisia .
- (merkintä $\nparallel$ eli \nparallel puuttuu vielä editorista)
Jos vektorit ovat yhtä pitkät, voidaan merkitä $\left|\ \overline{a}\ \right|=\left|\ \overline{b}\ \right|$ .
Jos vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ ovat sekä yhtä pitkät että samansuuntaiset, voidaan merkitä $\overline{a}$ = $\overline{b}$ .
Jos vektorit $\overline{a}$ ja $\overline{b}$ ovat yhtä pitkät mutta vastakkaissuuntaiset, voidaan merkitä $\overline{a}$ = − $\overline{b}$ . Tällöin a ja b ovat toistensa vastavektoreita.

ESIM 1. Mitkä kuvan vektoreista ovat a) yhdensuuntaiset, b) kohtisuorat (kaksi paria riittää), c) samansuuntaiset, d) vastakkaissuuntaiset, e) yhtä pitkät, f) samat?

Vektorien välinen kulma

Vektorien välinen kulma $\sphericalangle\left(\overline{a}{,}\ \overline{b}\right)$ on aina väliltä [0°, 180°]. Vektorien ajatellaan lähtevän samasta pisteestä.

ESIM2. Laske kuvan vektorien a ja c välinen kulma.

Vektorit Geogebrassa

Voidaan piirtää toiminnolla.
Voidaan kirjoittaa CAS-näkymään, esim vektori a := (3, 4). Tämä vasta 1.4 Komponentit -tunnilla.

Esimerkit

ESIM 1.
a)
$\overrightarrow{a}\ \parallel\ \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u}\ \parallel\ \overrightarrow{w}$

b)

$\overline{v}\ \perp\ \overline{u}$

$\overline{v}\ \perp\ \overline{w}$

$\overline{a}\ \perp\ \overline{u}$

$\overline{a}\ \perp\ \overline{w}$

$\overline{c}\ \perp\ \overline{b}$

c)
$\overline{v}\ \uparrow\uparrow\ \overline{a}$

d)
$\overline{u}\ \uparrow\downarrow\ \overline{w}$

e)
$\left|\overline{u}\right|=\left|\overline{w}\right|=\left|\overline{a}\right|\ \ \ \text{ja}\ \ \ \left|\overline{c}\right|=\left|\overline{c}\right|$

f)
Ei ole.

ESIM 2.

Siirretään vektori c vektorin a alkupisteeseen. Vaakasuoran ja vektorin a välinen kulma on 45°. Vaakasuoran ja vektorin c välinen kulma saadaan suorakulmaisen kolmion trigonometriasta: tan(kulma) = 1/2, kulma = 26,565...°
Joten kulma on 71,6°.