7.10.2019 Tehtäviä
Harjoitellaan derivoituvuuden osoittamista ja derivoimista.
funktion määrittely
Raja-arvoja tarvitaan usein:
Teoria (opettele ulkoa)
Funktio f(x) on derivoituva kohdassa a, jos erotusosamäärän raja-arvo
[[$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\displaystyle f\left(x\right)-f\left(a\right)}{\displaystyle x-a} $]]
on olemassa. Eli tuon erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat samat. Lisäksi funktion pitää olla jatkuva kyseisessä kohdassa eli funktion toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret funktion arvon kanssa.
Tehdään tehtävä 333. Opettajan johdolla funktio h(x) ja muut funktiot itsenäisesti
Esim 1 tehtävä 333 h(x):
Tehtävä 1 tehtävä 333 funktiot f(x) ja g(x) s.85
Tutki ensin jatkuvuus rajakohdassa. Ja vasta sitten derivoituvuus:
1. tee ensin vasemmanpuoleinen erotusosamäärän raja-arvo:
määritä molemmat palat erikseen, esim. ylempi pala k(x)=-x2+4x
muodosta erotusosamäärä kohdassa x=3 käyttämällä edellisen kohdan määrittelyä
2. tee oikeanpuoleinen erotusosamäärän raja-arvo samalla tavalla
3. vertaile toistpuoleisia erotusosamäärän raja-arvoja
4. Piirrä vielä kuvaaja ja tutki, miltä kuvaaja näyttää kohdassa x=3
Tee sama tehtävän funktiolle g(x). Huomaa, että sinun tarvitsee vain muokata edellisen kohdan oikean puoleista raja-arvoa. Piirrä kuvaaja ja tutki, miltä kuvaaja näyttää kohdassa x=3.
Kuvaaja geogebralla piirrettynä:
Derivaatan eli muutosnopeuden (=tangentin kulmakertoimen ) arvoja on hidas laskea erotusosamäärän avulla. On mahdollista määrittää derivoimalla derivaattafunktio f ' , jonka arvo f ' (x) on funktion derivaatan arvo kohdassa x.
Tehtävä 2 Tutkitaan polynomifunktion ja sen derivaattafunktion kuvaajia
Avaa tiedosto funktio ja sen derivaatta funktio.ggb geogebrassa ja tutki kuvaajia säätämällä liukukytkimiä ja pistettä A.
Vasemmanpuoleinen (piirtoalue 1) on funktion kuvaaja ja oikeanpuoleinen (piirtoalue 2) on derivaattafunktion kuvaaja.
a) Minkälainen on kolmannen asteen funktion derivaattafunktio?
b) Entä toisen asteen?
c) Tutki derivaattafunktion merkkejä ja nollakohtia. Miten ne liittyvät funktion kuvaajaan? Minkälainen on funktion kuvaaja, kun derivaatta on positiivinen? Negatiivinen? Nolla?
Derivaattafunktion selvittämiseksi on olemassa derivoimissääntöjä, joiden avulla derivaattafunktio voidaan selvittää.
Tehtävä 3 Tutkitaan polynomin derivoimissääntöjä
Derivoi erilaisia polynomifunktioita ja koita määrittää derivoimissääntöjä havaintojesi avulla.
geogebralla CAS-laskin toiminto f '
casion laskin math2 [[$ \frac d{dx}() $]]
Jos on vielä aikaa, niin tee tehtävät 336, 337, 339, 340.
Lisätehtävät jos vieläkin on aikaa 348 ja 349
- Asenna SpeedCrunch koneellesi (https://speedcrunch.org/download.html)
- muuta asetuksista näytön teemaksi standard ja fontiksi 12.
funktion määrittely
- A-osan laskin SpeedCrunch
- kirjoita funktio syöttökenttään ja paina enteriä, esim.
- Määrittelemäsi funktio näkyy käyttäjän funktioissa
- Classpad Casio
- define -komento interakt-valikosta
- Geogebra
- f(x):= (eli kaksoispiste ja = )
Raja-arvoja tarvitaan usein:
- Classpad raja-arvo: mat2-valikosta, toispuoleiset raja-arvot saa lisäämällä - tai + rajaluvun jälkeen.
- Geogebra: kirjoittamalla raja saat eri raja-arvojen komennot..
- avaa läksyvihko tai https://math-demo.abitti.fi/
- kirjan tehtävä 330 A-osan välineillä
- mikä on suorien kohtisuoruusehto
- miten voi laskea tangentin kulmakertoimen
- vastaus: tangentin kulmakerrroin = derivaatan arvo kyseisessä kohdassa
- erotusosamäärän raja-arvokaava löytyy koejärjestelmän ohjeista, josta sen voi kopioida klikkaamalla: https://cheat.abitti.fi
- kirjan tehtävä 331b)-kohta A-osan välineillä
- harjoittele funktion määrittäminen SpeedCrunchilla
- harjoittele toisen asteen yhtälön ratkaisukaava SpeedCrunchilla (tekijöihin jako)
Teoria (opettele ulkoa)
Funktio f(x) on derivoituva kohdassa a, jos erotusosamäärän raja-arvo
[[$ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\displaystyle f\left(x\right)-f\left(a\right)}{\displaystyle x-a} $]]
on olemassa. Eli tuon erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat samat. Lisäksi funktion pitää olla jatkuva kyseisessä kohdassa eli funktion toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret funktion arvon kanssa.
Tehdään tehtävä 333. Opettajan johdolla funktio h(x) ja muut funktiot itsenäisesti
Esim 1 tehtävä 333 h(x):
- poistetaan ensin itseisarvomerkit eli ilmaistaan funktion paloittain merkittynä
- Classpadissa paloittain määrittely työkalu on mat.3 -valikossa, geogebrassa paloittain määrittely kirjoitettiin jos -komennon avulla.
- Geogebralla (tekstirivejä=perusteluita saa kun laittaa riville päälle kirjoitustilan T)
- Casiolla sai toispuoleiset raja-arvot lisäämällä tavalliseen raja-arvoon merkin + tai - .
- Tutkitaan ensin funktion jatkuvuus raja-kohdassa.
- Tämän jälkeen tutkitaan erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot
Tehtävä 1 tehtävä 333 funktiot f(x) ja g(x) s.85
Tutki ensin jatkuvuus rajakohdassa. Ja vasta sitten derivoituvuus:
1. tee ensin vasemmanpuoleinen erotusosamäärän raja-arvo:
määritä molemmat palat erikseen, esim. ylempi pala k(x)=-x2+4x
muodosta erotusosamäärä kohdassa x=3 käyttämällä edellisen kohdan määrittelyä
2. tee oikeanpuoleinen erotusosamäärän raja-arvo samalla tavalla
3. vertaile toistpuoleisia erotusosamäärän raja-arvoja
4. Piirrä vielä kuvaaja ja tutki, miltä kuvaaja näyttää kohdassa x=3
Tee sama tehtävän funktiolle g(x). Huomaa, että sinun tarvitsee vain muokata edellisen kohdan oikean puoleista raja-arvoa. Piirrä kuvaaja ja tutki, miltä kuvaaja näyttää kohdassa x=3.
Kuvaaja geogebralla piirrettynä:
Derivaatan eli muutosnopeuden (=tangentin kulmakertoimen ) arvoja on hidas laskea erotusosamäärän avulla. On mahdollista määrittää derivoimalla derivaattafunktio f ' , jonka arvo f ' (x) on funktion derivaatan arvo kohdassa x.
Tehtävä 2 Tutkitaan polynomifunktion ja sen derivaattafunktion kuvaajia
Avaa tiedosto funktio ja sen derivaatta funktio.ggb geogebrassa ja tutki kuvaajia säätämällä liukukytkimiä ja pistettä A.
Vasemmanpuoleinen (piirtoalue 1) on funktion kuvaaja ja oikeanpuoleinen (piirtoalue 2) on derivaattafunktion kuvaaja.
a) Minkälainen on kolmannen asteen funktion derivaattafunktio?
b) Entä toisen asteen?
c) Tutki derivaattafunktion merkkejä ja nollakohtia. Miten ne liittyvät funktion kuvaajaan? Minkälainen on funktion kuvaaja, kun derivaatta on positiivinen? Negatiivinen? Nolla?
Derivaattafunktion selvittämiseksi on olemassa derivoimissääntöjä, joiden avulla derivaattafunktio voidaan selvittää.
Tehtävä 3 Tutkitaan polynomin derivoimissääntöjä
Derivoi erilaisia polynomifunktioita ja koita määrittää derivoimissääntöjä havaintojesi avulla.
geogebralla CAS-laskin toiminto f '
casion laskin math2 [[$ \frac d{dx}() $]]
Jos on vielä aikaa, niin tee tehtävät 336, 337, 339, 340.
Lisätehtävät jos vieläkin on aikaa 348 ja 349