Teksti

Kaupan myyntikorissa on kuusi tuoretta sämpylää ja neljä kuivahtautta sämpylää. Korista otetaan peräkkäin kolme sämpylää. Olkoon satunnaismuuttuja X kuivahtaneiden sämpylöiden lukumäärä. Kuinka monta kuivahtanutta sämpylää todennäköisesti saadaan?

Ratkaisu:

Korissa on 10 sämpylää

6 tuoretta, 4 kuivahtautta

3 sämpylää peräkkäin

X = Kuivahtaneiden sämpylöiden lkm

Satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ovat 0, 1, 2 ja 3

Lasketaan satunnaismuuttujan arvoja vastaavat pistetodennäköisyydet

$P\left(X=0\right)=\frac{\binom{4}{0}\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{6}$

$P\left(X=1\right)=\frac{\binom{4}{1}\binom{6}{2}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{2}$

$P\left(X=2\right)=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=\frac{3}{10}$

$P\left(X=3\right)=\frac{\binom{4}{3}\binom{6}{0}}{\binom{10}{3}}=\frac{1}{30}$

Lasketaan odotusarvo

$E\left(X\right)=0\cdot\frac{1}{6}+1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{3}{10}+3\cdot\frac{1}{30}=0+\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\frac{6}{5}=1{,}2$

Sattunaismuuttujan X todennäköisin arvo on 1.

2. Erään led-lampputyypin kestoikä noudattaa normaalijakaumaa siten, että keskiarvo on 13000 tuntia ja keskihajonta 1200 tuntia. Aulan kaikkiin kuuteen valaisimeen vaihdetaan syksyllä led-lamput. Jokainen lamppu palaaa kahden vuoden aikana 10950 tuntia.

Millä todemmäköisyydellä kahden vuoden kuluttua kaikki kuusi lamppua ovat vielä toimintakuntoisia?

Entä millä todennäköisyydellä vähintään 4 lampuista on tuolloin toimintakuntoisia?

Ratkaisu:

X = Lampun kestoikä (h)

X~N(13000, 1200)

$\mathrm{\mathrm{P\left(lamppu\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=P\left(lamppu\ kestää\ vähintään\ 10950\ h\right)=P\left(X\ge10950\right)}}$

$P\left(6\ lamppua\ toimii\ 2\ vuoden\ kuluttua\right)=0{,}9562^6=0.7643...\approx0{,}764$

Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562 ja lamppu ei toimii todennäköisyydellä 1-P.

$P\left(vähintään\ 4\ lamppua\ toimii\right)=P\left(4\ tai\ 5\ tai\ 6\ toimii\right)$

$=\binom{6}{4}0{,}9562^4\cdot\left(1-0{,}9562\right)^2+\binom{6}{5}0{,}9562^5\cdot\left(1-0{,}9562\right)+\binom{6}{6}0{,}9562^6\cdot\left(1-0{,}9562\right)^0$
$\approx0{,}9988$

Tapa 2:

Olkoon Y = toimivien lamppujen lkm

Lamppu toimii todennäköisyydellä P=0,9562

Y~Bin(6;0,9562)

$P\left(Y\ge4\right)=P\left(Y=4\right)+P\left(Y=5\right)+P\left(Y=6\right)\approx0{,}9985\left(tnlaskkuri\right)$

Kahden vuoen kuluttua 6 lamppua toimivat n.76% tn

Vähintään 4 lampuista toimii 99,9% tn