Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Kuvan Magdeburgin puolipallojen halkaisija on 9,8 cm. Puolipallot painetaan yhteen, ja tyhjiöpumppu saa imettyä venttiilin kautta niiden sisältä miltei kaiken ilman pois. Laske, miten suuri voima tarvitaan vetämään puolipallot irti toisistaan.

Ratkaisu

Ilmanpaine painaa puolipalloja kiinni toisiinsa. Koska puolipallojen välissä on melkein tyhjiö, mikään ei paina niitä erilleen. Jotta puolipallot saadaan irti toisistaan, kumpaakin on siten vedettävä samalla voimalla, jolla ilmanpaine painaa niitä yhteen. Lasketaan tämä voima.

Paine on [[$p=\dfrac{F}{A},$]]

[[$\quad F=pA$]].

Paine on normaali ilmanpaine, [[$p=p_0=101 \, 325\text{ Pa}$]]
Pinta-ala on pallon poikkipinta-ala, [[$A=\pi r^2 = \pi\cdot \left(\text{0,049 cm}\right)^2=\text{0,007542}\dots\text{m}^2\approx \text{0,00754 m}^2$]]

Voimaksi saadaan

[[$\begin{align} \quad F&=pA \\ \, \\ &=101 \, 325\text{ Pa}\cdot \text{0,00754 m}^2 \\\, \\ & =\text{764,2}\dots\text{ N}\approx 760\text{ N} \end{align}$]]

Jos puolipallot yritetään vetää irti toisistaan käsin, käsivoimia tarvitaan siis suunnilleen saman verran kuin jos nostaisi yhden ihmisen kummallakin kädellä yhtä aikaa.

Vastaus: Jotta puolipallot saadaan irti toisistaan, tarvitaan noin 760 N voima.


Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

Lasi täytetään vedellä ja kanneksi laitetaan ohut muovilevy. Miksi levy pysyy paikallaan ja vesi lasissa, kun lasi käännetään ylösalaisin?

Ratkaisu

Muovilevyä painaa ylhäältä nesteen hydrostaattinen paine ja alhaalta ilmanpaine. Ilmanpaineen suuruus on [[$p_0=101 \, 325\text{ Pa}$]]. Hydrostaattinen paine riippuu lasin korkeudesta, mutta on esimerkiksi 10 cm korkealle lasille

[[$\quad p=\rho g h=1 \, 000\text{ kg/m}^3\cdot \text{9,81 m/s}^2\cdot \text{0,1 m} = 981\text{ Pa},$]]

eli huomattavasti pienempi kuin ilmanpaine. Ilmanpaine siis estää muovilevyä putoamasta.

Vastaus: Levy pysyy paikallaan sekä vesi lasissa, kun lasi käännetään ympäri, sillä ilmanpaine estää muovilevyä putoamasta.


Takaisin

Esimerkin 3 ratkaisu

  1. Kuinka syvä vesikerros aiheuttaa ilmanpaineen suuruisen paineen?
  2. Laske sukeltajaan kohdistuva paine sukeltajan ollessa vesialtaassa 25 metrin syvyydessä. Vertaa ilmanpaineeseen.

Ratkaisu

a.

Hydrostaattinen paine

[[$ \begin{align} \quad p_{\text{h}}&=\rho gh \\ \, \\ h&=\dfrac{p_{\text{h}}}{\rho g} \end{align}$]]

[[$p_{\text{h}}=p_0=101 \, 325 \ \mathrm{Pa}$]]
[[$\rho = 1 \, 000 \ \mathrm{kg/m^3}$]]
[[$g=9{,}81 \ \mathrm{m/s^2}$]]

[[$\quad h=10{,}32875 \ \mathrm{m}\approx 10{,}3 \ \mathrm{m}$]]

Ilmanpainetta vastaavan paineen aiheuttaa noin 10,3 metrin vesikerros.

b.

Sukeltajaan kohdistuu pinnalla ollessa normaali ilmanpaine. Mentäessä syvemmälle paine kasvaa hydrostaattisen paineen verran. On siis laskettava hydrostaattinen paine 25 metrin syvyydessä ja lisättävä tähän ilmanpaine.

Hydrostaattinen paine

[[$ \quad p_{\text{h}}=\rho g h$]]

[[$\rho=1 \, 000\text{ kg/m}^3$]]
[[$h=25\text{ m}$]]

[[$ \begin{align} \quad p_{\text{h}}&=\rho g h \\ \,\\ &=1 \, 000\text{ kg/m}^3 \cdot \text{9,81 m/s}^2 \cdot 25\text{ m} \\ \, \\ &=245 \, 250\text{ Pa}\end{align}$]]

Kokonaispaine saadaan lisäämällä ilmanpaine:

[[$ \begin{align} \quad p_{\text{kok}}&= p_{\text{h}} + p_0 \\ \, \\ &= 245 \, 250\text{ Pa}+101 \, 325\text{ Pa} \\ \, \\ &=346 \, 575\text{ Pa}\approx 350 \, 000\text{ Pa} \end{align}$]]

Sukeltajaan kohdistuva paine on 25 metrin syvyydessä 350 000 pascalia, mikä on noin 3,5-kertainen ilmanpaineeseen nähden.


Takaisin