1. Kahden keitinlasin päälle kertakäyttölautaselle on asetettu 400 g punnuksia. Keitinlasien sisällä on muovipussit, joihin saadaan puhallettua letkuilla ilmaa. Vasemmanpuoleisen astian halkaisija on 11 cm ja oikeanpuoleisen 7,2 cm. Opiskelija ottaa letkujen päät suuhunsa ja alkaa puhaltaa niihin ilmaa. Kumpi kansista nousee ensin ja miksi?
2. Paljonko vasemmanpuoleiselle kannelle pitäisi pinota punnuksia, jotta kannet nousisivat yhtä aikaa?

Ratkaisu

a.

Kansia painaa ylhäältä ilmanpaine ja punnusten kansiin kohdistama voima. Alhaalta kansia painaa astioihin puhalletun ilman paine. Kun astioihin puhalletaan ilmaa, kansia ylöspäin painava paine kasvaa. Kun paine sisällä astiassa kasvaa ulkoista painetta suuremmaksi, kansi nousee.

Kun astioihin puhalletaan ilmaa, niissä on sama paine (muuten ilmaa virtaisi suusta vain sinne, missä paine on matalampi). Molempiin astioihin kohdistuu myös sama ilmanpaine. Ainoa ero on punnusten aiheuttama paine. Paine lasketaan jakamalla painava voima (tässä punnusten paino) pinta-alalla, johon voima kohdistuu (tässä kannen pinta-ala).

Oikeanpuoleiseen kanteen punnuksista kohdistuva paine:

[[$\begin{align} \quad p&=\dfrac{F}{A}=\dfrac{mg}{\pi r^2} \\ \, \\ &=\dfrac{\text{0,400 kg}\cdot \text{9,81 m/s}^2}{\pi \cdot \left(\text{0,036 m}\right)^2} \\ \, \\ &=\text{963,7}\dots\text{ Pa}\approx 960\text{ Pa} \end{align}$]]

ja vasemmanpuoleiseen:

[[$\begin{align} \quad p&=\dfrac{F}{A}=\dfrac{mg}{\pi r^2} \\ \, \\ &=\dfrac{\text{0,400 kg}\cdot \text{9,81 m/s}^2}{\pi \cdot \left(\text{0,055 m}\right)^2} \\ \, \\ &=\text{412,9}\dots\text{ Pa}\approx410\text{ Pa} \end{align}$]]

Vasemmanpuoleiseen kanteen kohdistuu ylhäältä pienempi paine, joten se nousee ensin.

b.

Vasemmanpuoleiseen kanteen pitäisi kohdistua punnuksista sama paine kuin oikeanpuoleiseen. Tämä paine on laskettu a-kohdassa: [[$\text{963,7}\dots\text{ Pa}\approx 964\text{ Pa}$]]. Lasketaan, kuinka suurta massaa tämä vaatii.

Paine on

[[$ \quad p=\dfrac{F}{A}=\dfrac{mg}{A}$]]

Ratkaistaan tästä massa:

[[$\begin{align} p & =\dfrac{mg}{A} & ||\cdot A\\ \, \\ \quad pA & =mg & ||:g \\ \, \\ m & =\frac{pA}{g}\end{align}$]]

Massaksi tulee

[[$ \begin{align} \quad m&=\frac{pA}{g}=\frac{p\pi r^2}{g} \\ \, \\ &=\frac{964\text{ Pa}\cdot \pi \cdot \left(\text{0,055 m}\right)^2}{\text{9,81 m/s}^2} \\ \, \\ &=\text{0,933}\dots\text{ kg}\approx 930\text{ g} \end{align}$]]

Lisätietoa: tarkempi perustelu ratkaisulle

Tarkkaan ottaen missään vaiheessa ei ole perusteltu, miksi riittää, että vertaillaan paineita. Kappaleen saa liikkeelle siihen kohdistuva kokonaisvoima (FY4). Alla on pelkkää painetarkastelua täsmällisempi perustelu.

Kansiin kohdistuu ylhäältä ilmanpaineen ja punnusten aiheuttama voima ja alhaalta astioihin puhalletun ilman paineen aiheuttama voima. Kun astioihin puhalletaan ilmaa, kanteen ylöspäin kohdistuva voima kasvaa. Kansi nousee, kun siihen kohdistuva kokonaisvoima on ylöspäin.

Kokonaisvoima (valitaan positiivinen suunta ylöspäin):

[[$ \quad \Sigma F=F_{\text{ylös}}-F_{\text{alas}}=p_{\text{astia}}A-p_{\text{ulkoinen}}A=\left(p_{\text{astia}}-p_{\text{ulkoinen}}\right)A$]]

Nähdään, että kokonaisvoima on positiivinen eli ylöspäin, kun paine sisällä astiassa kasvaa ulkoista painetta suuremmaksi.

Takaisin