Derivaattasovelluksia on maailma pullollaan, mutta tässä joitakin, joita on ollut esimerkiksi YO-kokeissa (ks. YO-tehtäviä) tai kirjassa.

1. Missä välin [-1,3] pisteessä funktio [[$f(x) = 3x^3 -2x^2 +x +5$]] kasvaa nopeiten?

Funktion kasvuvauhti on sen derivaatta, eli [[$f'(x) = 9x^2 -4x +1$]]. Alkuperäinen funktio kasvaa nopeiten siinä pisteessä, jossa derivaatta on suurimmillaan. Meidän on siis löydettävä derivaatan suurin arvo, ja se tehdään derivoimalla derivaatta: [[$f''(x) = 18x-4$]]. Tämä on nimeltään funktion f toinen derivaatta. Toisen derivaatan nollakohta on [[$c=2/9$]]. Derivaatan maksimi on toisen derivaatan nollakohdassa tai välin päätepisteissä, eli jossain pisteistä -1, 2/9 tai 3. Lasketaan derivaatan arvot näissä pisteissä:
[[$$f'(-1) = 9\cdot (-1)^2 -4\cdot(-1)+1 = 14$$]]
[[$$f'(2/9) = 9\cdot (\frac{2}{9})^2 -4\cdot(\frac{2}{9})+1 = \frac{5}{9}$$]]
[[$$f'(3) = 9\cdot 3^2 -4\cdot 3+1 = 70$$]]

Näistä [[$f'(3) = 70$]] on suurin, joten derivaatta [[$f'$]] on suurimmillaan pisteessä 3, ja alkuperäinen funktio [[$f$]] kasvaa nopeiten samassa pisteessä.





2. Mikä on fukntion [[$f(x)=0.2x^2 -x+1$]] tangentin yhtälö kohdassa [[$x=5$]]? (Kirjan luvussa 5.1 on tällaisia tehtäviä).


Funktion arvo pisteessä [[$x=5$]] on [[$f(5)=0.2\cdot 5^2 - 5+1 = 1$]]. Funktio siis kulkee pisteen [[$(5,1)$]] kautta.

Funktion tangentin kulmakerroin pisteessä [[$x=5$]] on sen derivaatan arvo pisteessä [[$x=5$]]. Derivaatta on
[[$f'(x)=0.4x -1$]] ja [[$f'(5)=0.4\cdot 5 -1 = 1$]], eli tangentin kulmlakerroin on 1.

Tästä eteenpäin ongelma on siis tämä: Mikä on suoran yhtälö, kun sen kulmakerroin on 1, ja se kulkee pisteen [[$(5,1)$]] kautta? Tällaisia asioita on käsitelty neloskurssilla, mutta lasketaan silti loppuun.

Kirjan tapa: Laita tunnetut luvut suoran yhtälöön (joka on myös MAOLin taulukoissa, se on tämän tavan etu):
[[$$y-y_0 = k(x-x_0 )$$]]
[[$$y-1 = 1(x-5 )$$]]
sievennetään:
[[$$y = x-4$$]]

Oma tapani (on mielestäni intuitiivisempi, ja siksi helpompi, mutta kaikki eivät jaa tätä käsitystä):
Suoran yhtälö on muotoa
[[$y=kx+b$]].
Kulmakertoimen kanssa yhtälö on tämän näköinen:
[[$y=1\cdot x+b$]]
eli
[[$$y=kx+b$$]]
Kun vakio [[$b$]] on selvitetty, meillä on suoran yhtälö. Vakio [[$b$]] saadaan selville siitä, että piste [[$(5,1)$]] toteuttaa suoran yhtälön, eli
[[$$1= 5+b$$]]
tästä saadaan [[$b=-4$]], joten suoran yhtälö on [[$$y=x-4.$$]].





3. Millä parametrien a ja b arvoilla funktion [[$f(x)=x^2 -ax+b$]] on kohdassa [[$(1,2)$]].


Funktion derivaatta on [[$f'(x)=2x -a$]]. Jos funktion huippu on kohdassa [[$(1,2)$]], pitää kohdassa [[$x=1$]] olla derivaatan nollakohta, eli
[[$$f'(1)=2\cdot 1 -a = 0.$$]]
Tämä toteutuu, kun [[$a=2.$]] Funktion arvo kohdassa [[$x=1$]] on nyt
[[$$f(1)=1^2 -a\cdot 1+b = 1^2 -2\cdot 1+b = -1+b.$$]]
Koska funktion arvon tulisi olla 2, saadaan
[[$$-1+b=2$$]]
ja tästä edelleen [[$b=3.$]]

Parametrien arvojen tulee siis olla [[$a=2$]] ja [[$b=3.$]]