Platonin kappaleet 2019

Johdanto

Työpäivän aikana tutustutaan matematiikan historiaan ja tutkitaan Platonin kappaleita. Kappaleiden avulla harjoitellaan geometrista hahmottamista ja etsitään laskusääntö eri osien välille. Platonin kappaleet soveltuvat mukaan avaruusgeometrian kurssia.

Johdantovideo

Kreikkalainen filosofi Platon tunnetaan yhtenä antiikin historian merkittävimmistä filosofeista ja filosofikoulu Akatemian perustajana. Platon ei itse ollut matemaattisesti kovinkaan tuottelias, mutta hän oli aikanaan matemaattisen toiminnan johtohahmo, suuri innoittaja ja toiminnan kehittäjä. Hänen mukaan matematiikalla ja etenkin geometrialla oli suuri merkitys suhteessa ihmiseen ja luontoon. Hänen perustamansa koulun portissa lukikin teksti: "Älköön kukaan geometriaa taitamaton kulkeko tästä".

Antiikin aikaan ajateltiin kaiken olemassa olevan koostuvan neljästä peruselementistä (myöhemmin alkuaineet): ilmasta, maasta, tulesta ja vedestä. Platonin pohdintojen mukaan säännölliset monitahokkaat ovat näiden neljän elementin rakennusaineita: ilma koostuu oktaedreista, maa kuutioista, tuli tetraedreista ja vesi ikosaedreista. Viidennen kappaleen, dodekaedrin, Platon ajatteli olevan meitä ympäröivän kosmoksen (avaruuden) rakennusaine.

Tehtävä 1 - kappaleiden konstruointi

Platonin kappaleita tunnetaan viisi erilaista: tetraedri, heksaedri eli kuutio, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri. Kreikkalainen matemaatikko Eukleides todisti myöhemmin Platonin jälkeen, että Platonin kappaleita on todellakin olemassa vain kyseiset viisi kappaletta.

Platonin kappaleet Platonin kappaleiden nimet tulevat kreikan kielen lukumääriä tarkoittavista sanoista:
  • Tetraedrin tahkoina on neljä yhtenevää tasasivuista kolmiota.
  • Heksaedrin eli kuution tahkoina on kuusi yhtenevää neliötä.
  • Oktaedrin tahkoina on kahdeksan yhtenevää, tasasivuista kolmiota.
  • Dodekaedrissa tahkoina on kaksitoista yhtenevää viisikulmiota.
  • Ikosaedrissa tahkoina on kaksikymmentä yhtenevää, tasasivuista kolmiota. 

Tehtävä
Rakenna herneiden ja hammastikkujen avulla kaikki viisi erilaista Paltonin kappaletta.

Voit käyttää apuna alapuolen tasokuvioita.



Kappaleiden hahmottamiseen voit käyttää myös Geogebran apua: 

GEOGEBRAN LINKKI

Tehtävä 2 - matematiikka kappaleiden sisällä

Tässä tehtävässä käytät apuna edellisessä tehtävässä rakentamiasi kappaleita. 

Tehtävä 2.1

Täydennä taulukko (vihkoosi) kappaleiden rakenteen perusteella. 

kappale kärkien lkm tahkojen lkm särmien lkm
tetraedri      
heksaedri      
oktaedri      
dodekaedri      
ikosaedri      


Tehtävä 2.2

Mikä matemaattinen sääntö on kärkien lukumäärän, tahkojen lukumäärän ja särmien lukumäärän välilllä? Sama sääntö pätee jokaiseen kappaleeseen. 

Jos et keksi sääntöä, pyydä ohjaavalta opettajalta vihje.