5.1

504

Tilavuus
$V=\pi\int_1^5\left(\sqrt[]{x-1}\right)^2dx=8\pi$ (Laskin)

$V=\pi\int_1^4\left(x-2\right)^2dx=\pi\int_1^4\left(x^2-4x+4\right)dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^4\left(\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x\right)=3\pi$

502

$V=2\cdot\pi\int_0^2f\left(x\right)^2dx=2\pi\ \int_0^2x^2dx=2\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^2\frac{1}{3}x^3=2\pi\left(\frac{1}{3}2^3-\frac{1}{3}0^3\right)=\frac{16\pi}{3}$

b)
$V=\pi\int_{-1}^2f\left(x\right)^2dx=\pi\int_{-1}^2\left(\frac{1}{2}x^3\right)^2dx=\pi\int_{-1}^2\frac{1}{4}x^6dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^2\frac{1}{28}x^7=\pi\cdot\left(\frac{1}{28}\cdot2^7-\frac{1}{28}\cdot\left(-1\right)^7\right)=\frac{129}{28}\pi$

503

$V=\pi\int_1^3f\left(x\right)^2dx=\pi\int_1^3\left(\frac{1}{x}\right)^2dx=\pi\int_1^3x^{-2}dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^3-\frac{1}{x}=\pi\left(-\frac{1}{3}-\left(-1\right)\right)=\frac{2\pi}{3}$

$V=\pi\ \int_1^2f\left(x\right)^2dx=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}}\right)^2dx=\pi\int_1^2\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^2=\pi\int_1^2x^{-1}dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^2\ln x=\pi\left(\ln2-\ln1\right)=\pi\ln2$

505

$V=\int_0^1\pi\left(e^x-2\right)^2dx=\pi\int_0^1\left(e^{2x}-4e^x+4\right)dx=\frac{\pi}{2}\left(e^2-8e+15\right)$

508

Lasketaan funktioiden leikkauspisteet

$x+1=\left(x-1\right)^2$

$x+1=x^2-2x+1$
$x=x^2-2x$
$x^2-3x=0$
$x=0\ tai\ x=3$ (Laskin)

Lasketaan rajattu alueen pinta-ala välillä [0,3]

$\pi\int_0^3\left(x^2-3x\right)^2dx=\frac{72\pi}{5}$ (Laskin)

509

Lasketaan funktioiden leikkauspisteet

$\frac{1}{4}x^2+2=\frac{1}{2}x^2+1$

$x=-2\ tai\ x=2$

Lasketaan pyörähdyskappaleen tilavuus välillä [-2,2]

$V=\pi\int_{-2}^2\left(\frac{1}{4}x^2+2\right)^2dx-\pi\int_{-2}^2\left(\frac{1}{2}x^2+1\right)^2dx=\frac{48\pi}{5}$

510

Käyrien $y_1=e^{\frac{x}{2}}$ ja $y_2=e^{-\frac{x}{2}}$ leikkauskohdat

$e^{\frac{x}{2}}=e^{-\frac{x}{2}}$

$\frac{x}{2}=-\frac{x}{2}$

$x=-x$
$x=0$

Lasketaan kappaleen tilaavus välillä [0,1]

$\pi\int_0^1\left(y_1\right)^2dx-\pi\int_0^1\left(y_2\right)^2dx=\pi\left(e-1\right)-\left(-\pi\left(\frac{1}{e}-1\right)\right)=\pi\left(e+\frac{1}{e}-2\right)$

Käyrät eivät leikkaa, koska yhtälöllä $\sqrt[]{x}=\sqrt[]{x+1}$ ei ole ratkaisuja

Käyrän $y=\sqrt[]{x}$ nollakohta on x=0 ja käyrän $y=\sqrt[]{x+1}$ nollakohta on x=-1

Koska välillä [−1, 1] olevassa testipisteessä x=0,

$\sqrt[]{0+1}=1>\sqrt[]{0}=0$ , on käyrä $y=\sqrt[]{x+1}$ ylempänä kuin käyrä $y=\sqrt[]{x}$ .

Käyrä $y=\sqrt[]{x}$ pyörähtää välillä [0,1] ja käyrä $y=\sqrt[]{x+1}$ välillä [-1,1]

$V_1=\pi\int_{-1}^1\left(\sqrt[]{x+1}\right)^2dx=2\pi$ (Laskin)

$V_2=\pi\int_0^1\left(\sqrt[]{x}\right)^2dx=\frac{1}{2}\pi$ (Laskin)

Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on

$V=V_1-V_2=\frac{3\pi}{2}$

512

Muutetaan ellipsin yhtälö $x^2+1{,}7y^2=100$ muotoon $y=f\left(x\right)$

$x^2+1{,}7y^2=100$
$1{,}7y^2=100-x^2$
$y=f\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{100-x^2}{1{,}7}}$

$V=\pi\int_{-10}^{10}\left(\sqrt[]{\frac{100-x^2}{1{,}7}}\right)^2dx=\pi\int_{-10}^{10}\frac{100-x^2}{1{,}7}dx=2463.9942...cm^3\approx2500cm^3=2{,}5l$

Tulos on järkevä, sillä se on hieman vähemmän kuin 2640cm³

Emmä jaksa

513
a)
Pyörähdyskappaleen tilavuus ratkaistaan integroimalla muuttujan y suhteen.

$V=\pi\int_1^2\left(2y\right)^2dy=\frac{28}{3}\pi$
b)

Pyörähdyskappaleen tilavuus ratkaistaan
integroimalla muuttujan y suhteen.
Ratkaistaan käyrän yhtälö muuttujan x
suhteen.

$y=\sqrt[]{x}$

$x=y^2$

$V=\pi\int_0^2\left(y^2\right)^2dy=\frac{32\pi}{5}$ (Laskin)

514

a)Lasketaan kahvimukin vetoisuus eli sisätilavus.

Sisätilavuus saadaan, kun sisempi suora y=6x-18 pyörähtää y-akselin ympäri

Ratkaistaan suoran yhtälöstä x

$y=6x-18$

$6x=y+18$
$x=\frac{1}{6}y+3$

Mukin pohjan paksuus on 1,0cm, joten integroimisväli on [1,11]

$V_{sisä}=\pi\int_1^{11}\left(\frac{1}{6}y+3\right)^{^2}dy=\frac{8765\pi}{54}\approx509{,}927\ \left(Laskin\right)$

Kahvin vetoisuus on 509,927cm³=0,509927dm³=

Lasketaan ulkotilavuus

Ulkotilavuus saadaan, kun ulompi suora y=6x-20 pyörähtää y-akselin ympäri

Ratkaistaan suoran yhtälöstä x

$y=6x-20$

$x=\frac{1}{6}y+\frac{10}{3}$

$V_{ulko}=\pi\int_0^{11}\left(\frac{1}{6}y+\frac{10}{3}\right)^2dy=\frac{21791}{108}\pi\approx633{,}874\left(Laskin\right)$

Posliinin määrä saadaan tilavuuksien erotuksena.

$V_{ulko}-V_{sisä}=\frac{21791\pi}{108}-\frac{8765\pi}{54}=\frac{4261\pi}{108}\approx123{,}947$

Posliinin määrä on n.120cm³

516

Kappaleen ulompi osa on ”kiekko”, joka syntyy, kun suora x = 5 pyörähtää y-akselin ympäri ja sisempi osa on ”malja”, joka syntyy, kun käyrä $y=\sqrt[]{3x-6}$ pyörähtää y-akselin ympäri

Sisempi osa:

Ratkaistaan yhtälöstä $y=\sqrt[]{3x-6}$ muuttuja x:

$y=\sqrt[]{3x-6}$

$y^2=3x-6$ , josta $x=\frac{y^2+6}{3}$

Integroinin yläraja, kun x=5

$y=\sqrt[]{3\cdot5-6}=\sqrt[]{9}=3$

Sisemmän pyörähdyskappaleen tilavuus on

$V_{sisempi}=\pi\int_0^3\left(\frac{y^2+6}{3}\right)^2dy=\frac{147\pi}{5}$ (Laskin)

Ulompi pyörähdyskappale on suora lieriö, jonka pohjan säde on 5 ja korkeus on 3.

$V_{ulompi}=\pi\cdot5^2\cdot3=75\pi$

Koko kappaleen tilavuus

$V_{ulompi}-V_{sisempi}-75\pi-\frac{147\pi}{5}-\frac{228\pi}{5}$

517

Lasketaan funktio $y=\sqrt[]{2x-1}$ nollakohdat

$\sqrt[]{2x-1}=0$

$2x-1=0$
$2x=1$
$x=\frac{1}{2}$

Eli funktion ylä-raja alkaa pisteestä x=1/2 ja ala-raja on jokin piste a

$V=\pi\int_{\frac{1}{2}}^a\left(\sqrt[]{2x-1}\right)^2dx=\frac{\left(4a^2-4a+1\right)\cdot\pi}{4}$ (Laskin)

Ratkaistaan yhtälö

$V=4\pi$

$\frac{\left(4a^2-4a+1\right)\cdot\pi}{4}=4\pi\ \ \ \ \ \left|\right|:\pi$

$a=-\frac{3}{2\ }\ tai\ a=\frac{5}{2}$

518
Lasketaan ensin ulomman kappaleen tilavuus, joka syntyy kun suora y=4 pyörähtää x-akselin ympäri ja sitten sisemmän kappaleen tilavuus, joka syntyy kun paraabeli $x=1+y^2$ pyörähtää x-akselin ympäri.

Ratkaistaan yhtälö muuttujan y suhteen

$x=1+y^2$

$y^2=x-1$
$y=\pm\sqrt[]{x-1}$

Voidaan valita pyörähtäväks käyräksi

$y=\sqrt[]{x-1}$

Käyrän $y=4$ ja $y=\sqrt[]{x-1}$ leikkauskohta on

$4=\sqrt[]{x-1}$

$x-1=16$
$x=17$

Käyrän $y=\sqrt[]{x-1}$ ja x-akselin leikkauskohta on x=1

Tilavuus saadaan pyörähdyskappaleiden tilavuutena käyristä y=4 välillä [1,17]

$V_{ulompi}=\pi\int_0^{17}4^2dx=272\pi$ (Laskin)

$V_{sisempi}=\pi\int_1^{17}\sqrt[]{x-1}dx=128\pi$ (Laskin)

$V_{ulompi}-V_{sisempi}=289\pi-128\pi=144\pi\approx452{,}389$

$452{,}389cm^3=0{,}452389dm^3=0{,}000452389m^3$

Lasketaan maljakon massa m tiheyden ρ avulla

$\rho=\frac{m}{V}{,}\ josta\ m=\rho V$

$m=3600\ \frac{kg}{m^3}\cdot0{,}000452389m^3=1{,}6286kg\approx1{,}6kg$

Maljakon massa on 1,6 kg

520
Tangentin kulmakerroin:

$D\frac{1}{x}=Dx^{-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

Kulmakertoimen arvo, kun x=1.

$k=-\frac{1}{1^2}=-1$ Tangentti kulkee pisteen (1,1) kautta

Tangentin yhtälö on y-1=-(x-1), josta y=-x+1

Pyörähtävä alue jää käyrän y=1/x ja y=-x+2 väliin välillä [1,2]

Kappaleen tilavuus saadaan kun ulomman käyrän y=1/x pyörähtäessä syntyvästä kappaleesta vähennetään tangentin y=−x + 2 pyörähtäessä syntyvän kappaleen tilavuus. Pyörähdyskappaleen tilavuus:

$V_{ulompi}=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x}\right)^2dx=\frac{1}{2}\pi$ (Laskin)

$V_{sisempi}=\pi\int_1^2\left(-x+2\right)^2dx=\frac{1}{3}\pi$ (Laskin)

$V_{ulompi}-V_{sisempi}=\frac{1}{2}\pi-\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{6}\pi=\frac{\pi}{6}$

Kappaleen tilavuus on π/6

524
Käyrän $y=e^x$ pyörähtäminen suoran y=c ympäri on sama tilanne, kuin jos käyrä $y=e^x-c$ pyörähtäisi x-akselin ympäri

Määritetään pyörähdyskappaleen tilavuus välillä [-1,1]

$\pi\int_{-1}^1\left(e^x-c\right)^2=\pi\int_{-1}^1\left(e^{2x}-2ce^x+c^2\right)dx=V\left(c\right)$

Tilavuusfunktio on muuttujan c toisen asteen funktio. Sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin arvo saavutetaan huipussa. Huippu on derivaatan nollakohdassa

$D\left(\pi\left(2c^2-\left(2e-\frac{2}{e}\right)c-\frac{1}{2e^2}+\frac{1}{2}e^2\right)\right)=\pi\left(4c-2e+\frac{2}{e}\right)$

$\pi\left(4c-2e+\frac{2}{e}\right)=0$

$c=\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}=\frac{e^2-1}{2e}$

Vakion c tulee olla $\frac{e^2-1}{2e}$ , jotta tilavuus olisi pienin