3.2

319

a) C

b) A

c) B

320

$\int_1^3\left(6x-x\right)^2dx=\int_1^3\left(5x\right)^2dx=\int_1^325x^2dx=25\cdot\int_1^3x^2=25\cdot\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^3\frac{1}{3}x^3=\frac{25x^3}{3}$

$f\left(3\right)-f\left(1\right)=\frac{25\cdot3^3}{3}-\frac{25\cdot1^3}{3}=\frac{650}{3}$

321

$f\left(1\right)-f\left(0\right)=e-1$

$f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=2{,}35$

322

$\int_0^13e^xdx=3\cdot\int_0^1e^xdx=3\cdot\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1e^x=3e^x$

$f\left(1\right)-f\left(0\right)=3e-3$

$\int_0^{\pi}\sin xdx=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^{\pi}-\cos x$
$f\left(\pi\right)-f\left(0\right)=$

324

$4\frac{1}{3}$

$-4\frac{1}{3}$

$4\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}+\frac{4}{3}=\frac{17}{3}=5\frac{2}{3}$

$4$

$4\frac{1}{3}$

332

$\int_1^e\frac{1}{x}dx+\int_1^e\left(1-\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^ex^{-1}dx+\int_1^e1-x^{-1}dx=\int_1^ex^{-1}-x^{-1}+1=\int_1^e1=\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^ex$

$f\left(e\right)-f\left(1\right)=e-1$

$\int_0^1\left(3x^2-2x+1\right)dx+\int_1^2\left(3x^2-2x+1\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\left(x^3-x^2+x\right)+\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^2\left(x^3-x^2+x\right)$

$=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^2x^3-x^2+x$

$f\left(2\right)-f\left(0\right)=6$

333

$\int_5^52x\sqrt[]{x^2+1}dx=0$

$\int_{-1}^1x\sin^2xdx+\int_{-1}^1x\cos^2xdx=\int_{-1}^1\left(x\sin^2x\right)+\left(x\cos^2x\right)dx=\int_{-1}^1\left(x\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\right)dx=\int_{-1}^1xdx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^1\frac{1}{2}x^2$
$f\left(1\right)-f\left(-1\right)=0$

$\int_0^1\left(x-1\right)dx+\int_0^1\left(x^2-x\right)dx+\int_0^1\left(x^3-x^2\right)dx+...+\int_0^1\left(x^9-x^8\right)dx=\int_0^1\left(x-1+x^2-x+x^3-x^2+...+x^9-x^8\right)dx=\int_0^1\left(-1+x^9\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1-x+\frac{1}{10}x^{10}$
$f\left(1\right)-f\left(0\right)=-\frac{9}{10}$

334

a)
https://peda.net/id/82fb834ec95

Kun x<2, funktio saa negatiivisia arvoja, tällöin

$\left|2x-4\right|=-\left(2x-4\right)=-2x+4$

Kun x≥2, funktio saa positiivisia arvoja, tällöin

$\left|2x-4\right|=2x-4$

Eli tässä tapauksessa pitää laskea pinta-alat välillä [0,2] [2,3]

$\int_0^3\left|2x-4\right|dx=\int_0^2\left(-2x+4\right)dx+\int_2^3\left(2x-4\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^3\left(-x^2+4x\right)+\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^3\left(x^2-4x\right)=\left(-2^2+4\cdot2\right)-\left(-0^2+4\cdot0\right)+\left(3^2-4\cdot3\right)-\left(2^2-4\cdot2\right)=4+8+9-12-4+8=5$

b)
https://peda.net/id/8a70e5c4c95

Kun x≤-2 tai x≥2, funktio saa positiivisia arvoja, tällöin
$\left|x^2-4\right|=x^2-4$
Kun -2<x<2, funktio saa negatiivisia arvoja, tällöin
$\left|x^2-4\right|=-\left(x^2-4\right)=-x^2+4$
Eli tässä tapauksessa pitää laskea pinta-alat välillä [-3,-2] [-2,2] ja [2,3]
$\int_{-3}^3\left|x^2-4\right|=\int_{-3}^{-2}\left(x^2-4\right)dx+\int_{-2}^2\left(-x^2+4\right)dx+\int_2^3\left(x^2-4\right)dx$

$=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-3}}^{-2}\left(\frac{1}{3}x^3-4x\right)+\bigg/_{\!\!\!\!\!{-2}}^2\left(-\frac{1}{3}x^3+4x\right)+\bigg/_{\!\!\!\!\!2}^3\left(\frac{1}{3}x^3-4x\right)$

$=\left(\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3-4\cdot\left(-2\right)\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-3\right)^3-4\cdot\left(-3\right)\right)\right)+\left(\left(-\frac{1}{3}2^3+4\cdot2\right)-\left(-\frac{1}{3}\left(-2\right)^3+4\cdot\left(-2\right)\right)\right)+\left(\left(\frac{1}{3}\cdot3^3-4\cdot3\right)-\left(\frac{1}{3}\cdot2^3-4\cdot2\right)\right)$

$=\left(\frac{16}{3}-3\right)+\left(\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)\right)+\left(-3-\left(-\frac{16}{3}\right)\right)=\frac{46}{3}=15\frac{1}{3}$