3.1

301

$16{,}7-6{,}6=10{,}1$

302

a) Appletin avulla saattiin pinta-ala välillä [0,3], joka on siis $A\left(3\right)=21$ , pinta-ala välillä [0,1] on appletin mukaan

$A\left(1\right)=1$

Joten ylläolevien tietojen mukaan pinta-ala välillä [1,3] on

$21-1=20$

A-kohdan perusteella voidaan oleta, että pinta-ala välillä [1,3] on funktio A(3) ja A(1) erotus

Määritetään funktiot A(3) ja A(1)

$A\left(3\right)=3^3-3^2+3=21$

$A\left(1\right)=1^3-1^2+1=1$

$A\left(3\right)-A\left(1\right)=20$

Koska lauseen mukaan pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio, eli

$A'\left(x\right)=f\left(x\right)$

Derivoitaan funktio A(x)

$A'\left(x\right)=f\left(x\right)=3x^2-2x+1$

304

$A\left(x\right)=\frac{\left(1+x+1\right)\cdot x}{2}=\frac{x^2+2x}{2}=\frac{x^2}{2}+x$

$A'\left(x\right)=f\left(x\right)$

$A'\left(x\right)=$

Koska $A'\left(x\right)=f\left(x\right)$ , pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio, joten voidaan saada integroimalla f(x) kautta funktio A(x)
$A\left(x\right)=\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x+1\right)dx=\frac{1}{2}x^2+x+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

$A\left(0\right)=\frac{1}{2}0^2+0+C=0$
$C=0$

$A\left(2\right)-A\left(1\right)=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}=2{,}5$

306

Koska $A'\left(x\right)=f\left(x\right)$ , pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio, joten voidaan saada integroimalla f(x) kautta funktio A(x)

$A\left(x\right)=\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }\left(x-1\right)dx=\frac{1}{2}x^2-x+C{,}\ C\in\mathbb{R}$

$A\left(2\right)=\frac{1}{2}2^2-2+C=2$

$C=0$

$A\left(5\right)-A\left(3\right)=7{,}5-1{,}5=6$

308

309

Tässä halutaan laskea funktion y nollakohdat

eli

$-x^2+x+2=0$

$x=-1\ tai\ x=2$ (Laskin)

eli pisteessö (-1,0) ja (2,0)

$\int_{-1}^2\left(-x^2+x+2=0\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^2\left(-1\cdot\frac{1}{2+1}x^{2+1}+1\cdot\frac{1}{1+1}x^{1+1}+2x\right)=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^2\left(-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x\right)$

$=\left(-\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2+2\cdot2\right)-\left(-\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3+\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)^2+2\cdot\left(-1\right)\right)=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$

311

$\int_0^3\left(3t+4\right)dt=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^3\left(3\cdot\frac{1}{1+1}t^{1+1}+4t\right)=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^3\left(\frac{3}{2}t^2+4t\right)$

$=\left(\frac{3}{2}\cdot3^2+4\cdot3\right)-\left(\frac{3}{2}\cdot0^2+4\cdot0\right)=25{,}5mm$

jos x-akseli on smalla ajan kuvaava t-akseli, veden määrä kolmen ensimmäisen tunnin aikana on siis sama asia kuin f kuvaajan ja t-akselin rajoittaman alueen pinta-ala välillä [0,3]

ja se on 25.5mm

c)C

312

$\int_0^a\left(3x^2-4x+2\right)dx=4$