1.1

105

$F_2$ , koska sen muutosnopeus välillä [-1,1] on negatiivinen, vastaavan muutosnopeuksen voidaan nähdä myös kuvaajasta f(x).

106

Osoitetaan, että

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$

Derivoidaan funktio F(x)

$F'\left(x\right)=D\left(\frac{1}{3}x^6-\frac{2}{5}x^5+3x^2-\frac{2}{3}\right)=2x^5-2x^4+6x=f\left(x\right)$

Oletetaa, että funktio f(x) toinen integraalifunktio on $F_2$

Jos katsotaan funktio $F_2$ integraalilauseen avulla,

$G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$

$G\left(x\right)=F_2\left(x\right)$

$F\left(x\right)=f\left(x\right)$
$C=\mathbb{R}$

Tässä tapauksessa C voi olla mikä tahanssa realiluku,

Esim.

$F_2'\left(x\right)=f\left(x\right)$
$F_2\left(x\right)=\frac{1}{3}x^6-\frac{2}{5}x^5+3x^2+1{,}\ C=1$

108

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$

$F\left(x\right)=x^4+C{,}\ C=\mathbb{R}$

Koska funktio F(x) kulkee pisteen (0,1/2) kautta,

$F\left(0\right)=0^4+C=\frac{1}{2}$

$0^4+C=\frac{1}{2}$
$C=\frac{1}{2}$

$F\left(x\right)=x^4+\frac{1}{2}$

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$
$F\left(x\right)=x^5+C{,}\ C=\mathbb{R}$
Koska funktio F(x) kulkee pisteen (0,1/2) kautta,
$F\left(0\right)=0^5+C=\frac{1}{2}$
$0^5+C=\frac{1}{2}$
$C=\frac{1}{2}$

$F\left(x\right)=x^5+\frac{1}{2}$

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$
$F\left(x\right)=e^x+C{,}\ C=\mathbb{R}$
Koska funktio F(x) kulkee pisteen (0,1/2) kautta,
$F\left(0\right)=e^0+C=\frac{1}{2}$
$e^0+C=\frac{1}{2}$
$1+C=\frac{1}{2}$

$C=-\frac{1}{2}$

$F\left(x\right)=e^x-\frac{1}{2}$

109

$F_1\left(x\right)=x^2+1$

$F_2\left(x\right)=x^2+2$
$F_3\left(x\right)=x^2+3$

$F_1\left(3\right)-F_1\left(2\right)=\left(3^2+1\right)-\left(2^2+1\right)=10-5=5$

$F_2\left(3\right)-F_2\left(2\right)=\left(3^2+2\right)-\left(2^2+2\right)=11-6=5$
$F_3\left(3\right)-F_3\left(2\right)=\left(3^2+3\right)-\left(2^2+3\right)=12-7=5$
Huomasin, että funktioiden on ratkaisu on kaikille kolmelle funktiolle 5

Kyllä, koska lakussa plus ja miinus merkit kumoavat toisensa.