Koe 1. Tehtävät mukailtu pitkän matematiikan yo-tehtävistä (C) YTL Jaa Sulje Kirjaudu sisään lähettääksesi tämän lomakkeen 1. Ratkaise yhtälöt ja valitse oikeat väittämät. a) [[$\quad x^2-x-6=0$]] Yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Yhtälöllä on kaksoisjuuri. Ratkaisut ovat eri merkkiset. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) [[$ \quad\dfrac{x}{6}-\dfrac{x-3}{2}-\dfrac{7}{9}=0$]] Yhtälö sievenee muotoon [[$13-6x=0.$]] Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Yhtälön ratkaisu on positiivinen luku. Yhtälöllä on kaksi ratkaisua. c) [[$\quad\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}=0$]] Yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Yhtälöllä on yksi ratkaisu. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. Yhtälö on tosi, kun [[$|x|=2.$]] 2. Sievennä lauseke, tai laske lausekkeen arvo. a)[[$$\frac{15}{4}-\left(\frac{6}{3}\right)^2=$$]] en osaa. [[$\frac{1}{4}$]] [[$-\frac{1}{4}$]] [[$-21$]] [[$3$]] ____________________________________________ b) [[$$\sqrt{6\cdot(3!)}-6=$$]] Vastaus: Lausekkeen arvo on ____________________________________________ c) [[$$\ln{\dfrac{x}{2}}+\ln{2}=$$]] en osaa. [[$\ln{2}$]] [[$\ln{x}$]] [[$x=4$]] [[$2$]] [[$0$]] [[$\ln{x}=2$]] ____________________________________________ d) [[$$\sin^{2}x+\cos^2(x+2\pi)=$$]] Vastaus: ____________________________________________ e) [[$$\int_0^1(x+1)dx=$$]] en osaa. [[$\frac{2}{3}$]] [[$1,5$]] [[$1$]] [[$x=-1$]] [[$0,5$]] [[$0$]] ____________________________________________ f) Laske funktion [[$f(x)=4e^{2x}$]] derivaatta kohdassa [[$x=0.$]] Vastaus: 3. Kolmion kärikipisteiden koordinaatit ovat: [[$A=(2,1),\quad B=(4,0), \quad C=(5,7).$]] Kolmion pisin sivu on en tiedä. [[$AB$]] [[$AC$]] [[$BC$]] kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Onko kolmio suorakulmainen? en tiedä. kyllä. ei. 4. Määritä kaikki vektorit [[$\overline{a}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}$]], joiden pituus on [[$\sqrt{22}$]] ja joiden kohtisuora projektio [[$xy$]]-tasolle on [[$2\overline{i}+3\overline{j}.$]] [[$\sqrt{22}\left(\overline{i}+\overline{j}+\overline{k}\right)$]] [[$2\overline{i}+3\overline{j}\pm 3\overline{k}$]] [[$3\overline{i}+3\overline{j}\pm 2\overline{k}$]] [[$3\overline{i}+2\overline{j}\pm 3\overline{k}$]] [[$2\overline{i}+3\overline{j}-\sqrt{22}\cdot\overline{k}$]] [[$2\overline{i}+3\overline{j}+t\cdot\overline{k}, \quad t\in\mathbb{R}$]] 5. Määritä funktion [[$f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}$]] suurin arvo kun [[$x>0$]]. en osaa. Funktiolla ei ole suurinta arvoa, kun [[$x>0.$]] [[$\infty$]] [[$\frac{1}{e}$]] [[$e$]] 6. Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen. a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin? Anna vastaus yhden prosentin tarkkuudella. Vastaus: b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo kahden desimaalin tarkkuudella. Vastaus: 7. Olkoon [[$t>0.$]] Paraabeli [[$y=ax^2+bx+c$]] kulkee pisteen [[$\left( 0,\frac{1}{t}\right)$]] kautta ja sivuaa [[$x$]]-akselia pisteessä [[$(t,0).$]] Määritä kertoimet [[$a$]], [[$b$]] ja [[$c$]] parametrin [[$t$]] avulla lausuttuna. en osaa.[[$\quad$]] [[$ a={t^3}\quad$]] [[$ a=\frac{1}{t^3}\quad$]] [[$ a=\frac{1}{t^2}$]] en osaa.[[$\quad$]] [[$b=\frac{2}{t^2}\quad$]] [[$b=-\frac{1}{t^3}\quad$]] [[$b=-\frac{2}{t^2}$]] en osaa.[[$\quad$]] [[$c=\frac{2}{t}\quad$]] [[$c=\frac{1}{t}\quad$]] [[$c=-\frac{2}{t}$]] 8. Eräässä huippuyliopistossa on 5 000 opiskelijaa, joista yksi sairastuu hiihtolomalta palattuaan influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio [[$$f(t)=\dfrac{5000}{1+4999e^{0,8t}}$$]] jossa aika [[$(t\ge 0)$]] lasketaan vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. a) Kuinka monen vuorokauden kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta yli 50 % opiskelijoista on sairaana? Vastaus: vuorokauden kuluttua. b) Onko [[$f(t)$]] kasvava funktio, kun [[$t>0$]]? en osaa sanoa. [[$\quad$]] kyllä. [[$\quad$]] ei. c) Laske [[$\lim_{t \to \infty}{f(t)}$]] Vastaus: 9. Suoran ympyräkartion korkeus on 5,0 cm, ja sen pohjan säde on 2,0 cm. Kartio katkaistaan niin, että yläreunan säde on 1,0 cm. Tämän jälkeen katkaistun kartion vaippa maalataan siniseksi ja sitä pyöritetään kyljellään paperilla. Määritä näin saadun sinisen rengasalueen pinta-ala yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. Vastaus: Sinisen alueen pinta-ala on [[$\text{cm}^2.$]] 10. a) Ratkaise yhtälö [[$3\tan{\dfrac{x}{2}}+3=0$]] ja valitse oikea vaihtoehto. en osaa. Yhtälön kaikki ratkaisut ovat [[$x=-\frac{\pi}{2}+2n\pi,\quad n\in \mathbb{Z}$]] Yhtälön kaikki ratkaisut ovat [[$x=\frac{\pi}{2}+2n\pi,\quad n\in \mathbb{Z}$]] Jotain muuta. b) Ratkaise yhtälö [[$2 \sin^2x+3\cos x-3=0$]] ja valitse oikea vaihtoehto. en osaa. Yhtälön kaikki ratkaisut ovat [[$x=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi,\quad n\in \mathbb{Z}$]] Yhtälön kaikki ratkaisut ovat [[$x=\pm\frac{\pi}{3}\quad \text{tai } x=\pi$]] Jotain muuta. Kirjaudu sisään lähettääksesi tämän lomakkeen
