Malliratkaisuja

412
suora a:

$P=\left(-1{,}3{,}2\right)$
$\overline{s}=i-j+k$
suora b:

$A=\left(-3{,}2{,}-3\right)$
$B=\left(-1{,}1{,}0\right)$
$\overline{AB}=\left(-1-\left(-3\right)\right)i+\left(1-2\right)j+\left(0-\left(-3\right)\right)k=2i-1j+3k$

suora a:

$\begin{cases} x=-1+1t&\\ y=3-1t&t\in\mathbb{R}\\ z=2+1t& \end{cases}$

suora b:

$\begin{cases} x=-1+2r&\\ y=1-1r&r\in\mathbb{R}\\ z=0+3r& \end{cases}$

Leikkauspisteessä koordinaatit ovat samat:

$\begin{cases} -1+1t&=&-1+2r\\ 3-1t&=&1-1r\\ 2+1t&=&0+3r \end{cases}$

$r=2{,}\ \ \ \ t=4$

V: $\begin{cases} x=3&\\ y=-1&\\ z=6& \end{cases}$

Kohta b) samalla tavalla. Yhtälöryhmällä ei ratkaisua => eivät leikkaa.

417:
$\begin{cases} x=3-2t&&\\ y=-1+2t&&t\in\mathbb{R}\\ z=3-t&& \end{cases}$

$A=\left(3{,}\ 11{,}\ 9\right)$

Kohtisuoraan pisteestä A suoralle on piste A'.

Suoran suuntavektori on $\overline{s}=-2\overline{i}+2\overline{j}-\overline{k}$ . Tämä, ja vektori $\overline{AA'}$ ovat kohtisuorassa.

Piste A' on $A'\ =\ \left(3-2t{,}\ \ -1+2t{,}\ \ \ 3-t\right)$ , joten vektori

$\overline{AA'}\ =\ \left(3-2t-3\right)\overline{i}+\left(-1+2t-11\right)\overline{j}+\left(3-t-9\right)\overline{k}$

$=-2t\ \overline{i}\ +\ \left(2t-12\right)\overline{j}\ +\ \left(-t\ -6\right)\ \overline{k}$ .

Lasketaan vektorien s ja AA' pistetulo:

$\overline{s}\cdot\overline{AA'}=-2\left(-2t\right)+2\left(2t-12\right)-1\left(-t-6\right)$

$=4t+4t-24+t+6\ =\ 9t\ -18$

Koska s ja AA' kohtisuorassa, pistetulo on nolla:

$9t-18=0$

$9t=18$
$t=\frac{18}{9}=2$

sijoitetaan t vektoriin AA':

$\overline{AA'}=-2\cdot2\ \overline{i}\ +\ \left(2\cdot2-12\right)\overline{j}\ +\ \left(-2\ -6\right)\ \overline{k}$

$=-4\overline{i}\ +\ -8\ \overline{j}\ -8\overline{k}$

$\left|\overline{AA'}\right|=\sqrt{4^2+8^2+8^2}=\sqrt{16+64+64}=\sqrt{144}=12$

V: 12 yksikön päässä.

$A'\ =\ \left(3-2\cdot2{,}\ \ -1+2\cdot2{,}\ \ \ 3-2\right)\ =\ \left(-1{,}\ 3{,}\ 1\right)$