2 Vektorit koordinaatistossa

Malliratkaisuja

235 a)
 
Piste F on janan BC keskipiste:
F=\left(\frac{(-1+6)}{2}{,}\frac{(5+0)}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}{,}\frac{5}{2}\right)

AP = 2/3 * AF (mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanit suhteessa 2 : 1 kärjestä lukien)
 
\overline{OP}=\overline{OA}+\overline{AP}=\overline{OA}+\frac{2}{3}\overline{AF}
=-2i+2j+\frac{2}{3}\left(\left(\frac{5}{2}-\left(-\frac{4}{2}\right)\right)i+\frac{1}{2}j\right)
=-2i+2j+\frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}i+\frac{1}{2}j\right)
=-2i+2j+\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}i+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}j

=-2i+2j+3i+\frac{1}{3}j
=1i+\frac{7}{3}j

Siis piste P = (1, 7/3)

Toinen reitti: AB + ½BC:
OP = OA + AP
=\overline{OA}+\frac{2}{3}\left(\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{BC}\right)
=-2\overline{i}+2\overline{j}+\frac{2}{3}\left(\left(\left(6-\left(-2\right)\right)\overline{i}+\left(0-2\right)\overline{j}\right)+\frac{1}{2}\left(-7\overline{i}+5\overline{j}\right)\right)
=-2\overline{i}+2\overline{j}+\frac{2}{3}\left(8\overline{i}-2\overline{j}-\frac{7}{2}i+\frac{5}{2}\overline{j}\right)
=-2\overline{i}+2\overline{j}+\frac{2}{3}\cdot8\overline{i}-\frac{2}{3}\cdot2\overline{j}+\frac{2}{3}\cdot\frac{-7}{2}\overline{i}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{2}\overline{j}
=-\frac{6}{3}\overline{i}+\frac{6}{3}\overline{j}+\frac{16}{3}\overline{i}-\frac{4}{3}\overline{j}-\frac{7}{3}\overline{i}+\frac{5}{3}\overline{j}
=-\frac{6}{3}\overline{i}+\frac{16}{3}\overline{i}-\frac{7}{3}\overline{i}+\frac{6}{3}\overline{j}-\frac{4}{3}\overline{j}+\frac{5}{3}\overline{j}
=\frac{3}{3}\overline{i}+\frac{7}{3}
=1\overline{i}+\frac{7}{3}\overline{j}


217
\overline{u}=\left(r-1\right)\overline{i}+2\overline{j}
\overline{b}=2r\overline{i}+r\overline{j}
 
Vektorin u ja b ovat yhdensuuntaisia, kun:
\overline{u}=s\overline{b}
ja vastakkaissuuntaisia, jos s < 0.

\left(r-1\right)\overline{i}+2\overline{j}=s\left(2r\overline{i}+r\overline{j}\right)
\left(r-1\right)\overline{i}+2\overline{j}=s\cdot2r\overline{i}+sr\overline{j}
\begin{cases} r-1&=&2sr\\ 2&=&sr \end{cases}
Alemmasta saadaan r=\frac{2}{s}, sijoitetaan ylempään:
\frac{2}{s}-1=2\cdot s\cdot\frac{2}{s}
\frac{2}{s}-1=4
\frac{2}{s}=\frac{5}{1}
5s=2
s=\frac{2}{5}>0
Koska s > 0, vektorit ovat yhdensuuntaiset ja samansuuntaiset.
 
V: Ei voi.

218
\overline{u}=k\overline{i}-4\overline{j}
\overline{v}=-9\overline{i}+k\overline{j}
Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos:
\overline{u}=s\overline{v}
...
yhtälöpari
ratkaistaan k

219
vektorit AC, BD tiedossa
sivut ovat vektorit AD, AB, muodostetaan
nyt ala = |AD|*|AB|

239
\overline{OC}=\overline{OA}+20\cdot\overline{u}^0+4\cdot\overline{v}^0
\overline{OA}=\overline{OC}-20\cdot\overline{u}^0-4\cdot\overline{v}^0
=\overline{OC}-20\cdot\frac{\overline{u}}{\left|\overline{u}\right|}-4\cdot\frac{\overline{v}}{\left|\overline{v}\right|}
=\left(15i+4j\right)-20\cdot\frac{3i-\frac{8}{5}j}{\sqrt{3^2+\left(\frac{8}{5}\right)^2}}-4\cdot\frac{-\frac{5}{2}i+6j}{\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2+6^2}}
=-\frac{245}{221}i+\frac{2148}{221}j
joten
A=\left(-\frac{245}{221}{,}\frac{2148}{221}\right)